Статьи

Ох, уж эти средние…

Андрей Тоом,

профессор факультета статистики Федеральный Университет Пернамбуко Бразилия

E-mail: toom@de.ufpe.br, andretoom@yahoo.com

 Web site: http://www.de.ufpe.br/~toom/

 

В последние годы я много ездил по разным странам и всюду рекламировал русское математическое образование. Особенно я хвалил обилие текстовых задач в русской школе и то, как тщательно эти задачи сформулированы. В общем, так оно и есть, но бывают досадные исключения. Вот об одном из них я хочу рассказать. Посмотрите на следующую задачу:

 

  1. Директор предприятия часто ведёт международные переговоры по телефону. Одна минута разговора с Белоруссией стоит 3 р. 30 к., с Францией – 13 р. 90 к., с Китаем – 15 р. 50 к. Сколько стоили его переговоры, если состоялось 5 разговоров с Белоруссией, 3 разговора с Францией и 2 разговора с Китаем? Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин.

 

Эта задача стала бы вполне хорошей, если бы из неё выкинули слова «в среднем». Однако, как говорится, из песни слова не выкинешь. Эта задача включена под номером 15 на стр. 16 в учебник математики для 4 класса, часть вторая, написанный М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.В. Степановой, С.И. Волковой, изданный в Москве в издательстве «Просвещение» в 2004 году и рекомендованный Министерством образования Российской Федерации. Как видите, солидное издание, и выкидывать из него слова по своему усмотрению мы не имеем никакого права. Раз ученики четвёртого класса должны решать эту задачу, давайте и мы попытаемся её решить.

 

Прежде всего, мы должны уяснить себе, что означает фраза «Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин.» На это любой статистик вам скажет, что надо сложить продолжительности всех разговоров за какой-то период времени и поделить эту сумму на число разговоров. Результат этого деления и составит среднюю продолжительность. Однако, любой статистик добавит, что те или иные конкретные разговоры могут иметь продолжительность резко отличающуюся от средней. Так что знание средней продолжительности не говорит нам ничего о продолжительности тех конкретных разговоров, о которых говорится в задаче. Например, мы можем предположить, что директор – человек экономный и в течение года тратил на каждый разговор ровно минуту, только вот те конкретные десять разговоров, о которых идёт речь в задаче, были настолько важны, что он потратил час на каждый из них. При этом средняя продолжительность одного разговора будет равняться трём минутам, если общее число разговоров равнялось 295. (Проверьте!) Общая стоимость перечисленныx в условии разговоров в этом случае составит астрономическую сумму в 5352 р.

 

А можно предположить, что те десять разговоров, которые названы в условии – как раз самые короткие, типа «Привет! – Привет! – Как дела? – Всё нормально. – Ну, будь здоров. – Пока!» Пусть каждый из этих разговоров длился всего пол-минуты, а все остальные длились по четыре минуты. Тогда, если всего разговоров было 35, средняя продолжительность одного – ровно три минуты, а вот суммарная стоимость перечисленных выше разговоров – всего 44 р. 60 к. Делая разные предположения, совместимые с условием задачи, можно получить и много других ответов. Какой из них верный – неизвестно. А может быть, все верные.

 

Попробуем истолковать условие по-другому: предположим, что фраза «продолжительность каждого разговора в среднем» означает среднюю продолжительность именно тех разговоров, которые упомянуты в задаче. Однако, и в этом случае задача неразрешима, потому что продолжительности конкретных разговоров могут сильно отличаться друг от друга. Например, вполне могло быть так, что директор, в целях экономии, говорил с Францией и Китаем каждый раз только одну минуту, а с Белоруссией позволил себе поболтать – говорил каждый раз пять минут. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем – 3 мин, а общая стоимость разговоров – 155 р. 20 к. Однако, возможно, что по каким-то причинам каждый разговор с Францией и Китаем длился пять минут, а с Белоруссией – только одну минуту. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем тоже 3 мин., но стоимость его переговоров выше – 380 р. Какой из этих ответов правильный – неизвестно. А можно получить и много других ответов. Так чего же от нас хотят авторы и министерство? Не знаю. Я, профессор факультета статистики, не могу решить эту задачу. А десятилетние дети могут? Ясно, что в этом случае и авторы и рецензенты отнеслись безответственно к своему делу.

 

Впрочем, может быть эта странная задача – только досадная случайность? Оказывается, нет. Вот задача 132 на стр. 26 той же книги:

 

  1. Два пловца спрыгнули одновременно с лодки и поплыли по реке в противоположных направлениях: первый со средней скоростью 90 м/мин, второй – 40 м/мин. Сколько метров проплывёт второй пловец, когда первый проплывёт 270 м? Сделай чертёж и реши задачу, обратную данной. Составь и реши обратную задачу.

 

Ну, во–первых, последние две строчки повторяют друг друга. Это к вопросу о внимательности авторов и рецензентов. Теперь о главном: что такое средняя скорость? Ну, это каждый знает: средняя скорость – это весь путь, делённый на время затраченное, чтобы его проделать. Отсюда следует очень важный вывод: говорить о средней скорости можно только тогда, когда движение уже закончено. Поэтому говорить о том, что пловец поплыл с такой-то средней скоростью – бессмысленно. Средняя скорость появится только тогда, когда он куда-нибудь приплывёт. Так как же решать эту задачу? Кто знает…

 

Обратите внимание, что нам предлагают к тому же ещё и сделать чертёж – очевидно, график, показывающий, где находятся пловцы в зависимости от времени. Но в том-то и дело, что сделать его невозможно. Если бы пловцы плыли с постоянными скоростями, такой график был бы возможен и для каждого пловца это была бы прямая линия. Однако нам говорят, что пловцы плыли с такими-то средними скоростями, значит, их движение могло быть неравномерным, следовательно, линии, изображающие их движение, могут быть кривыми. Черти любые загогулины – не ошибёшься. Как видим, эта задача тоже показывает безответственность и авторов и рецензентов.

 

Сделаем ещё одну отчаянную попытку понять эту задачу. Забудем на время, что речь идёт о четвёртом классе и назовём средней скоростью пловца в любой момент времени путь, который он проплыл к этому моменту времени, делённый на время, прошедшее от начала процесса до этого момента. В этом случае, поскольку нам дано, что средняя скорость постоянна, мы можем вывести, используя математический анализ, что и мгновенная скорость пловца (т.е. производная пути по времени) тоже постоянна. Тогда зачем было огород городить? Сказали бы с самого начала, что каждый пловец плывёт с такой-то скоростью, и была бы хорошая задача.

 

Сколько же в этой книге задач, испорченных бездумным употреблением слова «средний»? Я не считал, но знаю, что не один десяток. То и дело нам сообщают среднюю скорость лыжника (задача 78 на стр. 14), поезда (задача 91 на стр. 20), мотоциклистов (задача 105 на стр. 22), самолёта (задача 121 на стр. 24), всадников (задача 144 на стр. 28), но не сообщают, к какому отрезку пути эта средняя скорость относится. По-видимому, по мысли авторов средняя скорость – это что-то вроде волшебной палочки – она годится для любого участка пути. А что на самом деле происходит на уроках, которые ведутся по этой книге? Подозреваю, что и учителя и ученики просто мысленно выбрасывают эти «средние» и решают задачи так, как будто этих слов вовсе нет. Хорошо это или плохо? Это хорошо потому, что найден выход из безвыходного положения, в которое безответственные работники просвещения поставили учеников и учителей. А плохо потому, что дети приучаются невнимательно и неуважительно относиться к тексту. Сейчас в разных странах образователи очень озабочены тем, как неправильно ученики воспринимают подчас условия задач. Интересующимся советую почитать отличную статью (на английском языке) немецкого исследователя Кристофа Зельтера «Сколько лет капитану?» – Christoph Selter, “How old is the captain?”, которую вы легко найдёте в Интернете, используя Google для поиска по словам “selter old captain”. Пора бы озаботиться этим и в России.

 

И последний вопрос: зачем авторы так испортили свою собственную книгу, у которой есть и немалые достоинства? Почему бы им просто не вычеркнуть все эти «средние»? Я подозреваю, что они увлеклись модным стремлением сделать свои задачи более реалистичными, приблизить их к реальной жизни – любой ценой. Эта тенденция уже причинила немалый вред образованию во многих странах, особенно в США. Интересующиеся могут почитать мои статьи на русских сайтах и на моём сайте. Однако, задачи, решаемые в школе, не могут быть реалистичными в буквальном смысле слова. Вы не можете принести в класс все те вертолёты, самолёты, ящики с морковью и многое другое, о чём говорится в текстовых задачах. В школе, да и вообще в науке, мы всегда говорим о моделях действительности. Некоторые из этих моделей очень ценны, например понятие равномерного движения. Все модели упрощают действительность, но это не страшно. Главное то, что в пределах этих моделей мы должны быть честными: требовать от учеников только тех ответов, которые вытекают из условий. Если никакой конкретный ответ не вытекает из условия задачи, необходимо признать, что эта задача неразрешима. А что на самом деле происходит в тех школах, где занятия ведутся по этой книге? Боюсь, что на практике большинство учеников приучается писать не то, что логически вытекает из условия задачи, а то, чего хочет учитель. Но это же явный вред! Одна из важнейших задач математического образования именно в том и состоит, чтобы тренировать детей в распознавании точного смысла слов.

 

Теперь предположим, что найдётся особенно въедливый ученик (будущий Зенон или Гёдель), который заметит, что условие задачи, строго говоря, допускает много различных ответов и заявит об этом в классе. Согласится ли с ним учитель? Вряд ли. Помилуйте – на одной стороне какой-то настырный шкет, а на другой – учебник, рекомендованный самим министерством! Всё ясно?

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2019 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал