Наступим ли еще раз на грабли, реформируя школу?
В первом номере журнала «Школьное обозрение» опубликована статья А.М.Абрамова о реформе математического образования конца 60-х годов. Эта статья и бурная практическая деятельность по подготовке к проведению новой реформы заставляют задуматься. Не наделать бы новых ошибок с введением 12-летней школы в ходе этой реформы, не наступить бы еще раз на те же грабли! В преддверии перемен было бы полезно проанализировать итоги прежней «несчастливой реформы», как ее назвал А.М.Абрамов. К этому я и призываю читателей журнала.
На мой взгляд, одна из ошибок прежней реформы математического образования заключалась в упразднении курса арифметики. Царицу наук лишили ее трона, и последствия, которые предсказывались уже тогда, были печальны. Нет, вычислениям с обыкновенными и десятичными дробями обучают и сейчас, но как — это тема отдельного разговора. Вторая ошибка заключалась в ранней алгебраизации процесса решения задач, которая привела к утрате традиционной методики обучения решению текстовых задач. К.И.Нешков (автор первых вариантов учебника Н.Я.Виленкин и др.) в своей статье приводил слова одного из идеологов прежней реформы математического образования А.И. Маркушевича: «… роль арифметики в качестве первоначального введения в математику до сих пор несколько преувеличивалась». Развивая эту мысль, Константин Иванович писал: «Даже та исключительная роль «развития сообразительности и смекалки», которая приписывалась арифметическим задачам, оказалась преувеличенной. В результате анализа «сообразительности и смекалки» и выделения их составных частей [? — А. Ш.] оказалось, что с этой ролью могут справиться не только арифметические задачи. На один из первых планов А.И.Маркушевич выдвинул изучение понятий «множества» и «соотношения» …».
Как школа пережила внедрение «множеств» и «соотношений» напоминать не нужно. Той и другой ошибки можно было избежать, если бы предложения обсуждались широко и организаторы реформы больше прислушивались к аргументам своих оппонентов. Но в нашей стране, похоже, прав не тот, кто прав, а тот, кого назначили быть правым. Сегодня я остановлюсь на проблеме обучения решению текстовых задач, методика работы с которыми в ходе той реформы была кардинально пересмотрена.
В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроке математики вызывает задание: решите задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или на экзамене даже не приступает к решению так называемых текстовых задач. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? — вот вопросы, которых мы коснемся в настоящей заметке.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место и это почти исключительно российский феномен. В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению задач. Почему так происходило?
Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). Так было и в России. В наиболее известном российском учебнике «Арифметика» Л.Ф.Магницкого (1703) дроби рассматривались как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными типа «Продано 3 17/19 кг сахара по 2 1/17 рубля за килограмм…» или «Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям.
Обучение велось по образцам, ученики подражали учителю, не всегда понимая сути выполняемых ими вычислений. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Так описывал школьную практику давних лет В.Беллюстин в книге «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1923).
Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывавшую определенное воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность и показывающую связь изучаемого с практикой.
Работа над развитием речи учащихся в процессе обучения решению задач оказалась полезной, учитывая богатство и сложность нашего великого и могучего языка. Она развивала язык общения и обучения, готовила учащихся к изучению математики и смежных дисциплин. В этом, по-видимому, кроется одна из причин большого внимания к решению задач в традиционной отечественной методике.
К середине XX века сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам.
Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим, а в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задачи самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4–5 классов на 1971/72 учебный год. Хотели как лучше, а получилось … как всегда, т.к. на практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4 (теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я.Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» (Математика в школе, 1988, № 4).
А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Свидетельство тому находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» (Советская педагогика, 1974, № 6). Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы решения задач.
Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент, как уже сказано выше, был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т.п. …» (Ю.М.Колягин. Советская педагогика, 1974, № 6). Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.
Опытные учителя и молодые ученые шли еще дальше, они тоже стремились приблизить школу к жизни с помощью задач. Весьма своеобразно. Приведу два примера из моей коллекции. В книге серии «Проблемы школьного учебника. Выпуск 12» я нашел такую задачу В.К.Совайленко:
«Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?»
А вот пример экологического воспитания через задачу из одного научного сборника:
«Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет
12,5 м3 чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду? Проследить, в течение какого времени это произойдет».
Приведенные образцы, конечно же, представляют особый, вырожденный случай, но они отражают направление, в котором пытались много лет совершенствовать методику обучения решению задач. Это так называемое «приближение школы к жизни».
Вместо того чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того, чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.
Соавторы Н.Я.Виленкина по первому варианту ныне действующего учебника К.И.Нешков и А.Д.Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» … Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т.е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения. Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с ростом всеобуча и превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучше как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись.
Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не преодолены и теперь. Разница только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.
Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «Пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?
Сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, академик В.И.Арнольд писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики [60-х годов. — А.Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим» [В.И.Арнольд. Избранное — 60. — М.: ФАЗИС, 1997].
Как известно, что мышление пятиклассников (тем более, учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т.п. не следует. Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному; опираясь на наглядность, переходить от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в условии задачи величинами; обогатит его опыт мыслительной деятельности разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.
Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении (этого, быть может, было бы достаточно во времена Л.Ф.Магницкого), а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Они не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера.
Ценность многих типовых задач, решаемых арифметически, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения, а в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете — в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу типовых задач.
В моей книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя» подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям отечественного математического образования через много лет после «несчастливой реформы». Вот некоторые из них.
Необходимо отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения.
Необходимо значительно шире, чем это делалось до сих пор, использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить представления школьников о способах их решения в далекие и не очень далекие времена, будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.
Наконец, необходимо отказаться от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы, так как мы не считаем полезным для обучения каждый раз ставить в тупик наименее подготовленных из них во имя того, чтобы исключить формирование каких-то «вредных стереотипов». Вместо этого по каждой теме надо предлагать цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.
Ради чего это я отнимаю столько времени у терпеливого читателя, пускаясь в обсуждение подробностей лишь одной маленькой методической проблемы и способа ее решения в ходе прежней «несчастливой реформы»? Хотелось бы, чтобы в ходе подготовки и при проведении новой реформы мы не наделали новых ошибок, а для этого надо внимательно изучать прежний опыт, понять его рациональное зерно, не упразднять поспешно старое, как упразднили когда-то курс арифметики и типовые задачи, которые теперь оказались востребованными. Через 30 лет. Когда прежние традиции почти утрачены.
Первые поводы для беспокойства по поводу новой реформы уже появились. В опубликованном проекте концепции математического образования в двенадцатилетней школе (Математика, 2000, № 7) записаны совершенно правильные слова о необходимости сохранения лучших российских традиций математического образования и одновременно с этим вообще ничего не сказано о текстовых задачах, которые и являются одним из традиционных элементов российского математического образования.
Впрочем, в этом документе много и других спорных мест. Так геометрия — древнейший пласт человеческой культуры — поставлена в один ряд с новомодным «анализом данных», что может привести к новой спирали отказа от традиций без должного анализа возможных последствий.
Хотелось бы надеяться на гласное обсуждение высказанных в проекте концепции предложений, на учет всех мнений, а не на поспешные решения лиц, назначенных на этот раз быть правыми. Хотелось бы, чтобы мы задумались, отправляясь по пути, указанному нашими зарубежными доброжелателями, которые почему-то хотят поднять наше образование, что неизбежно сделает Россию сильной, обороно- и конкурентоспособной. Если честно, то хотелось бы понять, зачем это им нужно? А может быть наши доброжелатели хотят обратного? Пусть об этом поразмышляют и лица, готовящие новую реформу.
Надеемся, что они хотят сделать как лучше, но надо действовать, чтобы не получилось как всегда.
Опубликовано: «Школьное обозрение», № 5–6, 1999; «Математика в школе», № 9, 2000.
Дополнение. При публикации статьи в журнале «Математика в школе» были добавлены приведенные здесь два абзаца о геометрии, которая практически уничтожалась в проекте упомянутой концепции. Это место вызвало бурю эмоций у автора концепции Г.В.Дорофеева, излившего гнев в ответе на мою статью «Куда ведет реформа?» («Математика в школе», № 2, 2002). Свой ответ Г.В.Дорофеев послал в журнал, но, к сожалению, не опубликовал. Поскольку этот ответ содержал не ответы на мои обвинения, а нападки на меня лично, да еще «пошел по рукам», то я разместил «ответ на ответ».