Статьи

Между детством и математикой. Текстовые задачи в математическом образовании

А. Тоом

Как должны мы обучать наших детей, чтобы помочь им стать компетентными, продуктивными членами современного общества? Цель этих заметок – обсудить этот вопрос. Мы сконцентрируемся на том периоде жизни, который приходится примерно на средние и старшие классы школы, когда детство уже позади, но профессиональное использование математики ещё невозможно. Этот период, по-видимому, является критическим для успеха или неуспеха в строгом абстрактном мышлении: одни получают призы на олимпиадах, других математика только путает и пугает. Наш основной тезис заключается в том, что хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период.

Поскольку текстовые задачи – наш главный предмет, необходимо сначала определить, что мы имеем в виду. Чтобы держаться как можно ближе к точному смыслу слов, я предлагаю договориться, что нетекстовая задача — это задача, сформулированная с использованием только математических символов и технических выражений типа «Решите уравнение…». Соответственно, текстовая задача — это задача, использующая нематематические слова для передачи математического смысла. Поскольку на школьном уровне нет места для сложных формализмов профессиональной математики, нетекстовые задачи, имеющие дело с формализмами, сводятся к упражнениям, необходимым, но скучноватым. Неудивительно, что интересные задачи, доступные на этом уровне, — это по большей части текстовые задачи.

Есть важное сходство между детской игрой и всеми аспектами современной культуры: в обоих случаях необходимо творческое воображение. С одной стороны, вся жизнь ребёнка — это непрерывная игра воображения, с другой — все аспекты современной цивилизации включают воображение. Когда мы идём в театр или кино или в картинную галерею или читаем книгу, мы воображаем некоторые события, сознавая в то же время, что они нереальны. Современная математика — не исключение: воображение необходимо не только для того, чтобы её развивать, но уже для того только, чтобы её понимать. Разумеется, школа не должна прерывать то общее, что есть у детства и культуры, а именно творческую игру воображения. Когда учитель географии говорит своим ученикам «Сегодня мы будем путешествовать по Африке», все нормальные дети понимают, что эти слова не следует толковать буквально: это будет воображаемое путешествие. Аналогичное взаимопонимание имеет место, когда учитель литературы говорит «Сегодня мы проведём урок в компании Гамлета» или учитель биологии говорит «Давайте заглянем внутрь живой клетки». Функция школы — расширять мир детей, вводить в него факты, образы, идеи, законы, явления выходящие за рамки их личного опыта и повседневного быта. В школе, не менее чем повсюду, ученики должны иметь воображение и применять его. Математика — не исключение из этого правила. Когда учитель говорит «У Пети было десять яблок, три из которых он дал Маше», все дети понимают, что это абстрактные Петя и Маша и абстрактные яблоки. Это понимание необходимо детям, чтобы изучать математику, науку об абстракциях. Теперь посмотрим на следующую задачу:

«Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?»

Я не вижу ничего порочного в этой лёгкой задаче. По-моему, она годится в классе и даже имеет некоторые достоинства. Например, её можно использовать для демонстрации идеи относительного движения, помогающей решить её без алгебры: в системе координат, связанной с одним самолётом, другой движется со скоростью 350 + 400 = 750 миль в час, поэтому время, необходимое, чтобы увеличить расстояние на 2000 миль равно 2000/750 часов = 2 часа 40 минут. Однако, несколько лет назад эта задача была упомянута в Учителе Математики (11) со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды» (12, с. 159). Меня очень беспокоит этот комментарий, и это дело принципа. Мы можем обойтись без этой или любой другой конкретной задачи, иногда необходимо что-то исключить из программы, но мы не должны одобрять вопросы типа «А кому это надо?» вместо умственного усилия, особенно на страницах журнала, посвящённого образованию.

Согласно моему опыту, лишь немногие ученики спрашивают «А кому это надо?» вместо того, чтобы решить простую задачу, и эти немногие уже в беде: на учёте в психдиспансере или в милиции. Очевидно, тот «нормальный» ученик, который спрашивает «А кому это надо?», делает это потому, что не может её решить. А вот это уже по-настоящему страшно, особенно если мы вспомним, что этот ученик направляется в колледж. Я решительно не хочу, чтобы моих детей, да и любых детей учили подобным образом. Но быть может, вместо этой задачи нам предлагают другую, лучшую? Давайте посмотрим на следующую задачу, якобы показывающую, почему важно изучать алгебру (13, с.34):

«Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?»

Чтобы решить эту задачу, мы должны предположить, что траектория мяча — парабола (то есть, пренебречь сопротивлением воздуха), ввести некоторую координатную систему и описать траекторию уравнением, например,

y (x) = k(x – b)² + m,

где y — высота, x — расстояние от первого игрока по горизонтали и земля предполагается плоской. Тогда y (0) = 3, y (60) = 10 и y (300) = 5, откуда можно найти k, b и m. Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. Как и всякая школьная задача, она создаёт воображаемую ситуацию, сообщает некоторые данные о ней и требует вывести ответ из этих данных. Как обычно, эта воображаемая ситуация не является реальной в буквальном смысле. Как все эти расстояния по горизонтали и вертикали были измерены в пылу игры? Зачем нам знать максимальную высоту и на каком расстоянии от первого игрока она была достигнута? Никакого ответа на эти вопросы не дано. Для традиционных текстовых задач это нормально и обычно, но в другой статье Залман Усыскин назвал традиционные текстовые задачи фальшивыми и сказал, что они не нужны, так как есть много «подлинных приложений» (11, с. 158, 159). Ему не следовало бы употреблять такое оскорбительное слово, даже если бы он был прав, но он и неправ к тому же. Идеализация реальности, сведение её к определённой формальной системе с конечным, чётко определённым набором параметров и отношений между ними и выяснение всевозможных вопросов об этой системе, — это суть научного моделирования и ничего фальшивого в этом нет. Что же касается «подлинных приложений», мы только что видели образчик.

Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите немножко… заметьте, что это задача про бейсбол… многие дети любят играть в бейсбол… у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают эту догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание.

Я придумал много задач и не делал секрета из того, что это математические задачи. Прежде всего я заботился об их математическом содержании. В придачу к этому я мог сделать задачу забавной. Например, следующую задачу я придумал для Российской Заочной Школы (4, задача 1-23):

«Математик шёл по берегу домой вверх по течению реки, держа в руках палку и шляпу. Он шёл со скоростью, в полтора раза превосходившей скорость течения. На ходу он бросил шляпу в воду, перепутав её с палкой. Скоро он заметил свою ошибку, бросил палку в воду и побежал назад со скоростью вдвое большей той, с которой он шёл вперёд. Как только он поравнялся со шляпой, он мгновенно достал её из воды и пошёл домой с прежней скоростью. Через 40 секунд после того, как он достал свою шляпу из воды, он поравнялся с палкой, плывущей по течению ему навстречу. Насколько раньше он пришёл бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?»

Эта задача понравилась некоторым ученикам и учителям, хотя она, очевидно, не является «подлинным приложением». Решить её можно так. Обозначим через v скорость течения и t время в минутах, которое он бежал назад. Тогда расстояние, которое он пробежал назад, равно 3vt, расстояние, которое он прошёл вперёд от того места, где он выудил шляпу, до того, где он встретил плывущую палку, равно ³/₂_v × ²/₃ = v и расстояние, которое проплыла палка, пока он её не встретил, равно v(t + ²/₃). Следовательно, мы можем написать уравнение

3vt = v + v (t + ²/₃),

где v сокращается и мы получаем, что t = ⁵/₆ мин. Теперь посчитаем потерянное время. Оно состоит из двух частей, из которых первая (t) вдвое меньше второй (2t), так как одно и то же расстояние он прошел назад вдвое медленнее, чем бежал вперёд. Следовательно, общее потерянное время равно 3t = 2,5 мин.

У этой задачи, в отличие от предыдущей, есть вот какое интересное свойство: решая её, мы вынуждены были ввести одну лишнюю переменную, в данном случае v, значение которой невозможно найти, но зато эта переменная сокращается. Вместо этого мы могли бы ввести специальную единицу длины, чтобы сделать скорость течения равной единице. Другой класс задач, имеющих это полезное свойство, известен как задачи на работу. Вот пример:

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, каждый в известное время, а именно А может выполнить эту работу в три недели, В — в три раза большую работу в 8 недель и С — в пять раз большую работу в 12 недель. Требуется узнать, за какое время они могут закончить эту работу совместно.

Ньютон включил эту задачу в свой учебник, а Пойа процитировал её (6, с. 71). Решение основано на хорошо известном (нереалистичном) предположении, что продуктивность каждого работника постоянна. Мы можем принять ту работу, о которой говорится в задаче за единицу, и назвать её «заданием». Тогда продуктивность А составляет ¹/₃ задания в неделю, продуктивность В равна ³/₈задания в неделю и продуктивность С равна ⁵/₁₂ задания в неделю. Когда они работают вместе, продуктивности складываются и суммарная продуктивность равна

¹/₃ + ³/₈ + ⁵/₁₂ = ⁹/₈.

Тогда время, которое им понадобится, равно одному заданию делённому на ⁹/₈ заданий в неделю, что даёт ⁸/₉ недели. Почему Ньютон и Пойа считали такие задачи полезными? Вот ответ (6, с. 83):

Зачем нужны словесные задачи? Я надеюсь, что шокирую лишь немногих математиков, утверждая, что самая важная частная задача математического образования в средней школе — это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу высказанного мнения, безусловно, имеются сильные аргументы. При решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно тщательно разрабатывать.

Обратите внимание на то, что Пойа называет «реальной обстановкой», в буквальном смысле не реально. Очевидно, Пойа привык думать, что у всех есть воображение и высоко ценил традиционные текстовые задачи. Он был бы очень удивлён, если бы кто-то назвал их фальшивыми в его присутствии, и я полностью с ним согласен: я уверен, что традиционные текстовые задачи очень полезны.

Другая странная, но распространённая идея состоит в том, что текстовые задачи более однородны, чем нетекстовые. Например, влиятельные «стандарты» (18, сводка изменений в содержании и на чём делается упор в курсе математики 9-12 классов) рекомендуют уменьшить внимание «типовым текстовым задачам» и ни разу не упоминают типовые нетекстовые задачи или нетиповые текстовые задачи. Эта рекомендация показывает, что авторы чувствуют, что что-то неладно с преподаванием текстовых задач, но не в силах проанализировать, что именно. Они ни слова не уделяют тому, как их преподавать. Или, может быть, прилагательное «типовые» означает какую-то плохую манеру преподавания? Что же касается типов задач, то они повсюду. Дайте мне задачу, которую вы считаете нетиповой, и я сделаю её типовой, придумав десять похожих задач. Фактически, я часто делаю именно это в практике преподавания: сначала я решаю задачу на доске, затем я даю похожую задачу для решения в классе, затем я задаю похожую задачу на дом, затем я даю похожую задачу на контрольной. Все эти этапы (часто их даже больше) необходимы, в противном случае многие студенты не усвоят метод.

Фактически, на школьном уровне гораздо больше различных текстовых эадач, чем нетекстовых. Текстовые задачи резко увеличивают разнообразие задач, решаемых в школе. В дополнение к тем немногим формализмам чистой математики, которые доступны в школе, текстовые задачи приносят с собой целый мир образов: монеты, пуговицы, спички и орехи, время и возраст, работу и производительность, расстояние и скорость, длину, ширину, периметр и площадь, поля, ящики, бочки, мячи и планеты, цены, проценты, долги и скидки, объёмы, массы и смеси, корабли и течения, самолёты и ветер, насосы и бассейны и многое другое. Для детей это неоценимый опыт — распознавать те формальные характеристики этих образов, которые следует принять во внимание, чтобы решить задачу.

По меньшей мере, столь же важно, на мой взгляд, то, что, решая текстовые задачи, дети должны уяснить себе и перевести на язык математики великое множество глаголов, наречий и прочих частей речи, обозначающих действия и взаимоотношения между объектами, таких как положить, дать, взять, принести, наполнить, опорожнить, двинуть, встретить, догнать, больше, меньше, позже, раньше, до, после, от, до, между, навстречу, прочь и т. п. Хотя я говорю «дети», я фактически имею в виду большой диапазон возрастов, включая студентов младших курсов колледжей и университетов, для которых всё это может быть совсем нелегко (10).

Как возникла эта странная идея об однородности текстовых задач? Я думаю, что некоторые педагоги и администраторы, будучи недостаточно компетентными, чтобы справиться с разнообразием текстовых задач, свели их к немногим типам, и этот вторичный феномен, порождённый некомпетентностью педагогов, а не потенциалом самих текстовых задач, противоположный самой их сути, был неоднократно ошибочно принят за неотделимое свойство текстовых задач.

Например, влиятельная «Программа действий» рекомендует (1, с. 3): «Определение того, что значит решить задачу, не должно быть ограничено конвенциональной манерой “текстовых задач”». Что подразумевали авторы под «конвенциональной манерой “текстовых задач”»? Быть может, ту удручающую манеру преподавания, которая всё ещё царит на многих уроках и которая порождена плохой подготовкой учителей? Кто знает? Во всяком случае, они выразили свои мысли в такой туманной форме, что никакое осмысленное действие не могло быть предпринято на основе их рекомендаций. Теперь уже не секрет, что некоторые учителя математики слишком плохо знают математику. В свете этого, одобрять высказывания типа «А кому это надо?» особенно опасно, потому что некоторые учителя могут использовать это как предлог.

К сожалению, оскорбительное отношение к текстовым задачам проявляется не только в (11). Например, вторая глава в остальном здравой книги (2) наполнена грубыми насмешками в адрес текстовых задач. Очевидно, Моррис Клайн не стал бы так легкомысленно паясничать, если бы не был уверен заранее, что некоторым читателям это понравится. Не так давно член дискуссионной группы, переписывающейся по электронной почте, предложил определить текстовые задачи как такие, которые даются с целью вызвать коленный рефлекс у учеников. Когда я возразил, что лучше использовать термин «текстовые задачи» согласно смыслу слов, то есть применять его к задачам, содержащим слова, не являющиеся математическими терминами, этот профессиональный образователь очень удивился и признал, что моё предложение было новым для него.

Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать (7): «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании».

Первые сорок лет моей жизни я провёл в России, где присутствие, даже обилие текстовых задач в математическом образовании всегда принималось как само собой разумеющееся. Сборник задач П.А. Ларичева для 6-8 классов (3), употреблявшийся, когда я учился в школе, содержит множество текстовых задач. В то время я думал, что это заурядный сборник задач. Теперь, после нескольких лет преподавания американским первокурсникам, многие из которых не могут справиться даже с простыми текстовыми задачами, я удивляюсь высокому уровню и качеству работы П.А. Ларичева. Если бы выпускники американских школ умели решать все задачи из его сборника, они были бы лучше подготовлены, чем многие из тех, кого в настоящих условиях допускают к калькулюсу. В частности, книга П.А. Ларичева включает много исторических задач, например, такую (3, с. 37):

Летело стадо гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» — «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей?

Должен ли я пояснять, что мы решали эту задачу без калькуляторов и двумя способами — арифметически и алгебраически? Русские сборники для начальной школы тоже полны текстовых задач. Эти книги написаны так, чтобы подготовить детей к решению более трудных задач в последующие годы. Вот пример (5, с. 190):

При ремонте дома нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней могут выполнить эту работу оба маляра, работая вместе?

Эта задача может рассматриваться как подготовительная к задаче Ньютона. Из данных прямо следует, что первый маляр может покрасить 10 рам в день, а второй — 15 рам в день. Значит, вместе они покрасят 10 + 15 = 25 рам в день. Следовательно, им нужно 150:25 = 6 дней. Решающий момент здесь, как и во всех задачах на работу, это понять, какая величина аддитивна. Это одна причина того, почему задачи на работу полезны. Некоторые ученики наивно складывают 15 дней и 10 дней и получают в ответе 25 дней. Крайне важно, как учитель реагирует на такие неверные предложения. Он должен спокойно заметить, что этот ответ противоречит здравому смыслу, потому что когда два человека работают вместе, они закончат раньше, чем если бы работал только один. Здесь мы попадаем в область педагогического мастерства, которое определяется прежде всего тем, как учитель реагирует на неверные или частично неверные решения. Умелый учитель советует ученикам использовать здравый смысл, который таким образом постепенно превращается в профессионализм. В последующих классах ученики решают похожие, но более трудные задачи, так что их умения строятся одно на другом. В 6-8 классах уже предлагаются задачи, в которых данные обозначаются буквами, например (3, с. 166):

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ в t дней. Первый рабочий может сделать эту работу в a дней. Во сколько дней мог бы выполнить заказ второй рабочий, работая один?

Если текстовые задачи так полезны в России, почему они не могут быть столь же полезны в Америке? Этому мешает определённая теория. Я назову её теорией непереноса. Согласно этой теории, дети не могут переносить идеи, методы и умения от одного задания, одной задачи, ситуации к другой и, следовательно, их стоит учить решать только такие задачи, которые они встретят в ежедневной жизни. Американские специалисты в области образования слепо верят в эту фантастическую теорию, а всем прочим людям на земле она практически неизвестна. Эту теорию выдвинул Эдвард Торндайк примерно сто лет назад. В 1926 году он опубликовал книгу, имевшую большое влияние, в которой писал (9, с. 154): «Задачи решаются в школе ради их решения в жизни. При прочих равных условиях, задачи, в которых ситуация реальна, лучше, чем задачи, где она описана словами. При прочих равных условиях, задачи, которые могли бы действительно возникнуть в здравой и разумной жизни, лучше, чем задачи-подделки и простые головоломки».

Торндайк не приводит примеров «задач-подделок», но из его аргументации можно понять, что это уничижительное выражение относится ко всем задачам, не имеющим буквального подобия в ежедневной жизни. Но тогда вся современная математика — подделка! Следуя своим идеям, Торндайк включил в свою книгу главу под названием «Нереальные и бесполезные задачи», которую начал следующим образом (9, с. 258): «В предыдущей главе было показано, что примерно половина вербальных задач, даваемых в стандартных курсах, — не подлинные, поскольку в реальной жизни их ответ не понадобился бы. Очевидно, не следует, разве что ради количества, так связывать алгебраическую работу с никчёмностью».

Обратите внимание: Торндайк думал, что когда детям дают задачу, которую они не могут встретить в ежедневной жизни, они испытывают чувство никчёмности. Весь мой учительский опыт говорит мне, что интерес детей к математическим задачам не предопределён их прямой применимостью к ежедневной жизни. Он имеет гораздо более сложные причины. Нередко мои ученики с интересом решали задачи, чья формулировка была фантастической или шуточной. В этой связи давайте рассмотрим следующие две задачи.

У Маши в копилке сорок монет, некоторые однокопеечные, остальные пятикопеечные, на общую сумму один рубль. Сколько у неё монет каждого типа?

В клетке находятся кролики и фазаны; у всех у них вместе 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Что делает эти задачи особенно полезными в преподавании, это то, что их можно решать разными способами, в том числе без алгебры. Например, задачу про копилку можно решить так. Сначала предположим, что все монеты однокопеечные. Тогда в копилке 40 коп., что на 60 коп. меньше, чем нужно. Теперь заметим, что каждый раз, когда мы заменяем одну однокопеечную монету на пятикопеечную, содержимое копилки увеличивается на 4 коп. Значит, чтобы увеличить его на 60 коп., надо такую замену произвести 60:4 = 15 раз. Значит, в копилке 15 пятикопеечных монет и 40 – 15 = 25 однокопеечных. Этот ответ можно проверить вычислением 25 + 15^.5 = 100 коп. = 1 р.

Что касается задачи с кроликами и фазанами, она включена в (3, с. 90) как «старинная китайская задача». Пойа включил похожую задачу в (6, с. 46). От одного учителя я услышал очаровательный способ объяснять детям её решение. Вообразим, что все кролики стоят на задних лапках. Тогда число ног, стоящих на земле, равно удвоенному числу голов, а именно 72. Остальные 28 ног — это передние лапы кроликов. Значит, число кроликов вдвое меньше, а именно 14. Тогда число фазанов 36 – 14 = 22. Согласно всему моему опыту, нормальные дети любят такие задачи и не спрашивают «А кому это надо?» или «Когда же мы применим это к повседневной жизни?» Кроме того, все нормальные дети замечают, что, несмотря на различное оформление, задача про копилку и задача про кроликов и фазанов похожи и, если решил одну из них, то решать другую становится легче.

К чести Торндайка заметим, что он признаёт, что некоторые из тех задач, которые он называет нереальными и бесполезными, могут заинтересовать «учеников особенно способных и интересующихся математикой» (с. 259). Многие жемчужины математики могли бы послужить примерами этого, например иррациональность квадратного корня из двух или бесконечность множества простых чисел. Однако, Торндайк упоминает только несколько исторических задач, включая вот эту: «Есть кадамба цветок; на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, и на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, на кутай этих пчёл посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, всё летала то взад, то вперёд, и везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчёлок всего здесь собралось?»

Я могу засвидетельствовать, что в этом Торндайк прав: есть ученики, интересующиеся такими задачами. Когда я спросил Юлия Ильяшенко, теперь профессора математики, как он заинтересовался математикой, он вспомнил эту задачу (включённую в (3, с. 167)).

Идеи Торндайка критиковались не раз. В частности, Выготский писал (14, с. 233): «… для опровержения гербартианской концепции Торндайк прибег к экспериментированию над крайне узкими, специализированными и притом элементарнейшими функциями. Он упражнял испытуемого в различении длины линейных отрезков и потом изучал, как это обучение влияет на умение различать величину углов. Само собой разумеется, что никакое влияние не могло быть здесь обнаружено».

Выготский провёл свои собственные эксперименты, которые показали, что, когда мы имеем дело с высшими умственными функциями, такими как изучение арифметики и родного языка, перенос имеет место. В этой связи Выготский говорил о другом важном понятии: умственной дисциплине (которую он называл «формальной дисциплиной»). Понятия переноса и умственной дисциплины так тесно связаны, что практически невозможно принять одно и отвергнуть другое. Хорошо известно, что математика, преподаваемая в школе, по большей своей части не имеет буквального применения в ежедневной жизни. Поэтому, говоря о важности математического образования, мы не можем обойтись без понятия умственной дисциплины, охватывающего все небуквальные, непрямые и отдалённые результаты школьного образования. Критикуя Торндайка, Выготский писал (14, с. 231-232): «Отчасти неразработанность самой теории формальных дисциплин, а главным образом, несоответствие её практического осуществления задачам новейшей буржуазной педагогики привели к разгрому всего учения о формальной дисциплине в теории и практике. Идеологом здесь выступил Торндайк, который в ряде исследований пытался показать, что формальная дисциплина есть миф, легенда, что обучение не имеет никаких отдалённых влияний, никаких отдалённых последствий для развития. Торндайк пришёл в результате этого исследования к полному отрицанию существования тех зависимостей между обучением и развитием, которые верно предчувствовала, но в высшей степени карикатурно изобразила теория формальной дисциплины. Но положения Торндайка убедительны только в той мере, в какой они касаются карикатурных преувеличений и искажений этого учения. Ядра его они не затрагивают и тем более не уничтожают».

Концепции Торндайка и Выготского ведут к совершенно различным выводам для математического образования, включая роль текстовых задач в нём. Давайте перечислим некоторые из них.

1) Если Торндайк прав и умственной дисциплины не существует, то задачи, решаемые в школе, должны быть идентичны тем, которые ученики могут встретить в жизни в настоящем или будущем. Однако, профессии в наше время очень специализированы и невозможно предсказать, кто выберет какую профессию. Более того, если бы даже мы могли каким-то образом предсказать, что такой-то ученик станет, скажем, компьютерным программистом, мы всё же не могли бы учить его тому конкретному языку программирования, который он будет использовать, потому что этот язык наверняка ещё не придуман. Те, кого учили Бейсику, потом программировали на Паскале или Фортране, а те, кого учили Паскалю, теперь программируют на С++. Если бы умственная дисциплина была только мифом, то все годы их учёбы были бы потрачены зря, но многие считают, что это не так. Некоторые даже думают, что решение математических задач, скажем геометрических задач на построение, также полезно будущим программистам. Это можно понять только приняв понятие умственной дисциплины: если она существует, то перенос возможен и продуктивен. Встретив новую задачу, дети могут воскликнуть: «Это похоже на задачу, которую мы уже решали, только с другими словами и числами». Иначе говоря, они способны замечать структурное сходство между задачами и переносить умения и идеи, развитые при решении одних, на другие, более сложные. Именно к этому я всегда стремлюсь как преподаватель.

2) Если умственная дисциплина не существует, то текстовые задачи должны восприниматься буквально, как утверждения о реальности. Например, задача с монетами имеет смысл только как прототип поведения в ситуации с реальными монетами, задача о кроликах и фазанах имеет отношение только к кроликам и фазанам и т.п. Данные задачи должны быть такими, какие имеются в реальности, и вопросы должны быть такими, на какие мы обычно должны отвечать в ежедневной жизни. В этом случае задачи группируются в типы согласно их оформлению: задачи с монетами, кроликами или работой. Если же, напротив, умственная дисциплина существует, то важнее всего внутренняя математическая структура задач, тогда как монеты, кролики и т. п. — это лишь поверхностное оформление. В этом случае мы хотим, чтобы дети научились решать задачи с произвольными данными и отвечать на произвольные вопросы, а не только те, которые они встречают в ежедневной жизни. В противном случае, дети не смогут совершить следующий шаг, от числовых данных к данным обозначенным буквами. Это означает также, что числовым данным нет нужды быть громоздкими, потому что им нет надобности выглядеть так, как будто они взяты из конкретной реальной ситуации.

3) Если перенос невозможен, то взаимодействие между математикой и другими школьными предметами, например физикой, невозможно и не стоит о нём заботиться. Именно это мы обычно наблюдаем в американских публичных школах, где предметы изолированы друг от друга. Если же, напротив, Выготский прав и различные школьные предметы взаимодействуют, то имеет смысл координировать программы по математике и физике, чтобы математические понятия применялись в физике и обратно. В русских школах это делается систематически.

Когда я читал «Психологию алгебры» Торндайка (9), у меня было странное впечатление. С одной стороны, несомненны упорство и трудолюбие Торндайка. С другой стороны, он, по-видимому, не имел понятия о сущности математики. Все мои одноклассники, все мои ученики, все дети, которых я когда-либо встретил, знали, что яблоки из задачи — не то же самое, что реальные яблоки. Но Торндайк этого не знал! У меня такое впечатление, что, потратив много времени на эксперименты с животными, Торндайк проникся убеждением, что живые существа совершают усилия только ради некоторой материальной награды и некритически перенёс эту идею на людей. Каждый родитель знает, что дети спонтанно любопытны и что у них есть фантазия, и что они любят волшебные сказки и фантастические истории, но Торндайк, по-видимому, не знал этого. Каждый родитель знает к тому же, что детям нравятся контрафактуальные утверждения и образы, часто (неточно) называемые «абсурдными» или «бессмысленными». Льюис Кэрролл и многие другие авторы разработали эту тему с большим успехом, но Торндайк рассуждает так, как будто он никогда об этом не слышал!

Сегодня те карикатурные преувеличения, связанные с понятием умственной дисциплины, которые упоминал Выготский, почти забыты. На смену им пришли столь же карикатурные преувеличения в противоположном направлении. Пример: в последние годы среди профессоров образования стало употребляться новое выражение: «задачи реального мира». Никто не знает, что в точности значит эта фраза, и разные авторы используют её в разных, подчас противоречащих друг другу смыслах. Во всяком случае, ясно, что «задачи реального мира» весьма далеки от той важной и хорошо известной части математики, которая традиционно называется «прикладной математикой». Прикладная математика нуждается в точности, потому что имеет дело с суровой реальностью, тогда как «задачи реального мира», предлагаемые в образовательной литературе, часто туманны и хаотичны и нам говорят, что у них много ответов (но никогда не говорят сколько). Чтобы работать в прикладной математике, умственная дисциплина ещё как необходима, тогда как разговоры о «задачах реального мира» часто сочетаются с отрицанием умственной дисциплины.

Что будущим математикам необходимо изучать математику, это очевидно. Давайте зададим другой вопрос: почему важно изучать математику тем, кто не станет математиком? Зачем нужна математическая грамотность? Одна причина в том, что мы читаем и пишем и считаем для своих ежедневных практических нужд. Есть, однако, и другая причина: грамотный человек — это иной тип человека, чем неграмотный. Грамотность и её аналоги, включая математическую грамотность, не просто удобные приспособления. Они открывают их владельцу новые перспективы. Грамотный человек, в частности математически грамотный человек, не только лучше отвечает на старые вопросы, но задаёт и новые вопросы. Математическая грамотность включает способность и привычку осуществлять абстрактные замыкания, выходящие за пределы сиюминутной нужды. Непрофессионалы часто считают математические абстракции трудными, и они по-своему правы, но абстракции не были бы нужны, если бы они не были лёгкими в некотором другом отношении. Действительно, решить абстрактную задачу легче (если вы на это способны), чем возиться с каждым частным случаем. Этот контраст хорошо виден в случае текстовых задач. Для математиков они так легки, что некоторые (например, Моррис Клайн (2)) не понимают их важности. С другой стороны, для людей с неразвитым абстрактным мышлением (некоторые из которых к сожалению преподают математику) текстовые задачи невероятно трудны. Происходит это потому, что каждый тип текстовых задач — это маленькое замыкание: как только вы усвоили общую идею, вы можете применять её ко многим частным случаям. Таким образом, текстовые задачи дают попробовать вкус абстрактной работы каждому, кто может справиться с ними. Давайте учить всех детей решать их.

(1) An Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. NCTM, Reston, VA, 1980.

(2) Kline, M. Why Johnny can’t add: the failure of the new math. New York, St. Martin Press, 1973.

(3) Ларичев П. А. Сборник задач по алгебре. Часть первая для 6-8 классов. Москва, Учпедгиз, 1961.

(4) Заочные математические олимпиады. Н. Васильев, В. Гутенмахер, Ж. Раббот, А. Тоом. 2-е издание, Москва, Наука, 1986.

(5) Математика 4. Учебник для четвёртого класса начальной школы. Под редакцией Ю. М. Колягина. Москва, Просвещение, 1992.

(6) Пойа, Д. Математическое открытие. Москва, Наука, 1970.

(7) Raimi, R. Частное сообщение по электронной почте.

(8) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. NCTM, March 1989.

(9) Thorndike, E. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York,1926.

(10) Тоом А. Как я учу решать текстовые задачи. М.: Математика. 2004, № 47 (перевод с португальского).

(11) Учитель математики – Mathematics teacher – главный журнал для преподавателей математики в старших классах школы в США.

(12) Usiskin Z. What should not be in the algebra and geometry curricula of average college-bound students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2. February 1995, pp. 156-164.

(13) Usiskin Z. Why is algebra important to learn? American Educator, v. 19, n. 1, Spring 1995, pp. 30-37.

(14) Выготский Л. Мышление и речь. Собрание сочинений в 6 томах. Москва, Педагогика. Том 2, 1982.

Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как Andre Toom. Between childhood and mathematics: word problems in mathematical education. Humanistic Mathematics nеtwork journal, Issue #20, July 1999, pp. 25-32, 44. Перевод статьи на русский язык выполнен автором.