Статьи

А. В. Шевкин. Текстовые задачи в школьном курсе математики (лекция 1)

5-9 классы

Лекция № 1

Роль текстовых задач в школьном курсе математики

В первых лекциях мы остановимся на истории использования текстовых задач в России и за рубежом, на роли текстовых задач и арифметических способов их решения в процессе обучения математике в школе, на их влиянии на развитие общеучебных умений школьников; обсудим желательную последовательность предъявления школьникам типовых задач и определим наиболее естественное место появления уравнений в процессе обучения.

Из истории использования текстовых задач в России

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

. . . . . . . . . .

… Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:

Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

фунты гульдены фунты

100 7 29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов [1, с. 11].

Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике в старину — можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого… В книге первой… кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)… автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»…, а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле» [2].

Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого видно, что рецептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается «определение» правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.

«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое… понеже пять перечней [чисел — А. Ш.] в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:

год год

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде» [2].

О возможности использования задач такого рода в процессе обучения разговор еще впереди, а пока получим верный ответ, следуя правилу: (7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу [3]. Так в 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф.Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа (не просто ¹/₂, а ¹/₂ рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными типа «Продано 3¹⁷/₁₉ кг сахара по 2¹/₁₇ рубля за килограмм…» или «Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям. Упомянутые традиции обучения вычислениям через задачи, на наш взгляд, сказываются на обучении математике до сих пор. Как, например, в самых массовых учебниках для 5 классов «доказывается» равенство 2:3 = ²/₃? Очень просто — берут два яблока и делят каждое из них на три равные части.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Например, из программы 5-6 классов задач исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля, и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?»

Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, дававшие во II в. следующую задачу?

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт утки и гуся, ни проконтролировать момент их встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение к практике полученного результата, а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка?

Мы вовсе не идеализируем массовую практику обучения решению задач в отечественной школе. Но обращаем внимание на то, что идеи, заложенные в методику обучения, возможности этой методики и практическая реализация методики — не одно и то же. Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» [4, с. 14].

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Одним из аргументов к предлагаемым изменениям была критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту ныне действующих учебников К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения. Вторым аргументом к изменениям был поиск резерва времени, необходимого для обновления содержания математического образования.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии», и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы «на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса» [5].

Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.

Если же вернуться к математике, то надо отметить, что из верной посылки «после овладения алгеброй…» С.Л. Соболев сделал неверный вывод, так как текстовые задачи и арифметические способы их решения как раз и готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:

1) 15^.2/(2 + 3) = 6, 2) 15 – 6 = 9.

Наш опыт показывает, что учащиеся, обученные находить арифметически два числа по их сумме и разности или два числа по их отношению и сумме (или разности), с большим трудом переходят к решению тех же задач с помощью уравнения. Они не видят никакого выигрыша, какой доставлял бы им новый способ решения.

Вот еще один пример разумного использования учащимися арифметического способа решения задачи. Шестому классу дано задание решить с помощью уравнения известную задачу из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению 7^.(x + 12):12 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал детей. Кроме того, разнообразные способы решения будят их фантазию, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. Возьмем старинную китайскую задачу:

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Конечно, следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение

4x + 2×(35 – x) = 94,

где x — число кроликов, и получить ответ задачи.

Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа, если нам небезразличны эмоциональный фон обучения, развитие фантазии детей и их способности рассуждать, то, может быть, с ними полезно провести диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос).

— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 70 (35·2 = 70).

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 24 (94 – 70 = 24).

— Сколько же кроликов?

— 12 (24:2 = 12).

— А фазанов?

— 23 (35 – 12 = 23).

Приведем последний пример, показывающий возможности арифметических способов решения задач. На этот раз рассмотрим упрощенный вариант старинных китайских задач и задач из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона:

Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

Здесь тоже можно использовать уравнение, а можно, желая развивать способности детей рассуждать, провести такой диалог.

— Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты. Сколько конфет у нее осталось?

— Три.

— Если она продолжит раздавать конфеты, то по сколько конфет она даст каждому?

— По одной (5 – 4 = 1).

— Скольким детям хватит еще по одной конфете?

— Троим.

— А скольким не хватит?

— Двоим.

— Сколько же было детей?

— Пять (3 + 2 = 5).

Очевидно, что не стоило отказываться от арифметических способов решения, если они стимулируют учащихся к поиску более простых решений, если с их помощью можно создавать разнообразные ситуации, развивающие способности учащихся к рассуждениям. В то время как применение уравнений не дает такого разнообразия. Так что из верной посылки «после овладения алгеброй…» вовсе не следует, что арифметические способы решения задач были излишни в обучении математике.

Так или иначе, но в середине XX в. в СССР возобладал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении. Отражение полемики тех лет о текстовых задачах находим у Ю.М. Колягина, который в настоящее время, конечно же, думает иначе, но тогда выразил мнение, преобладавшее в методических кругах: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» [6]. Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.

Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений. Такой подход казался, видимо, более современным и научным. Методистов-математиков почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п.» [6].

Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике (добавим сюда еще веру во влияние фабулы задач на воспитание учащихся) преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников — у нас в России и за рубежом. К их аргументам и задачам мы еще вернемся во второй лекции.

Один из авторов первого варианта учебников Н.Я. Виленкина и др. К.И. Нешков писал: «Даже та исключительная роль «развития сообразительности и смекалки», которая приписывалась арифметическим задачам, оказалась преувеличенной. В результате анализа «сообразительности и смекалки» и выделения их составных частей [? — А. Ш.] оказалось, что с этой ролью могут справиться не только арифметические задачи. На один из первых планов А.И. Маркушевич выдвинул изучение понятий «множества» и «соотношения» [7].

Не будем напоминать, как школа пережила внедрение «множеств» и «соотношений» — от этой идеи вскоре пришлось отказаться, а вот отказ от разумного использования прежней методики работы с текстовыми задачами ничем не компенсировали. Опытные учителя уже тогда говорили, что теперь пострадает и геометрия, задачи которой чаще всего формулируются в виде текста, а для их решения нужны умения, формировавшиеся раньше при разумном обучении решению текстовых задач.

Пострадала не только геометрия. Можно смело утверждать, что от изменения отношения к текстовым задачам качество школьного математического образования ухудшилось. Насаждение алгебраического способа решения текстовых задач велось вопреки программе по математике, в которой предусматривались не только ознакомление учащихся с различными способами решения задач, но и выбор учащимися подходящего способа решения задач. Так было на бумаге (в программе 1971/72 учебного года), а на деле отношение к задачам определяли авторы единственного в то время учебника математики для 4-5 (5-6) классов. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» [8].

Насколько противоестественным для процесса обучения и развития детей оказалось раннее использование уравнений, можно судить даже по методической аранжировке самых обычных задач. Вот две задачи, взятые из книг для учителей начальной школы.

Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?

Решая ее, мы составили такое уравнение: x = 4 + 3 [5, с. 112].

Маша сказала: «Я своим трем подругам раздала 18 конфет, всем поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой».

Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x? [9, с. 13]

Аналогичное указание «Решите с помощью уравнения задачу» находим в учебнике Н.Я. Виленкина.

В корзине было несколько грибов. После того, как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине? [10, с. 70]

Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа противоестественно и не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, такая методика искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: учащихся учат применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Тем не менее «метод уравнений» на долгие годы стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач. Это привело к тому, что учащиеся не получали должного развития речи, умения анализировать текст задачи, ставить вопросы, отвечать на них, то есть они были лишены возможности лучше усвоить естественный язык — язык не только общения, но и обучения. Они не учились различать разнообразные типы взаимосвязей известных и неизвестных величин, вести поиск решения задачи, отталкиваясь от условий задачи или от поставленного вопроса. Они получили один единственный способ для решения разнообразных задач, который никак не могут освоить до сих пор.

Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Более того, теперь не только учителя не помнят, как надо наиболее эффективно для развития детей учить их решать задачи, но даже нашелся автор учебного комплекта по математике для 5-6 классов, который не знает, как без уравнений обучать детей решению задач. Вот как он пишет об арифметических способах решения задач: «Обучение решению текстовых задач в известных мне пособиях сводится к обучению тридцати шести уловкам и двадцати четырем уверткам. Некоторые из них весьма остроумны и чрезвычайно полезны. Но никто не знает, как научить выбирать в данной педагогической ситуации единственно нужную» [11].

Завершая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике в России, о разных подходах к обучению решению задач и прошлых реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда, который, сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики [конца 60-х годов. А. Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим» [12].

Текстовые задачи в зарубежной школе. Здесь мы сошлемся на весьма авторитетное мнение нашего соотечественника за рубежом. А.Л. Тоом имеет опыт преподавания математики в МГУ им. М.В. Ломоносова и ФМШ № 18 при МГУ, он автор статей и интересных задач, публиковавшихся в журнале «Квант» и в книжках для Заочной математической школы. Более 10 лет Андрей Леонович живет и работает за рубежом, преподавал в университетах Италии, США, Бразилии, где обратил внимание на совершенно непривычное для него отношение обучающих к использованию текстовых задач в процессе обучения. Мы рекомендуем слушателям курсов внимательно проработать упоминаемые нами статьи А.Л. Тоома, так как приводимые нами выдержки не позволяют показать со всей полнотой аргументацию автора, глубоко проанализировавшего теорию и практику использования текстовых задач в учебном процессе в России и за рубежом.

В одной из своих статей, опубликованных теперь и в России, А.Л. Тоом пишет: «Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Э. Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью». [13]

В той же статье А.Л. Тоом приводит задачу, которая «может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений:

Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас?

Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов» [13].

Можно предположить, что если бы обличитель «негодной» для школы задачи сумел ее решить, то, возможно, малые дети (Биллу всего год) не вызвали бы у него столь бурной реакции.

Вот еще один пример. А.Л. Тоом приводит высказывание Залмана Усыскина о традиционных текстовых задачах, опубликованное в главном американском журнале для учителей математики в старших классах «Учителе математики» (Mathematics teacher): «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны». <…> Почему Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми? Он приводит задачу:

У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?

Затем Усыскин пишет: «Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?».

В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением» [14].

Как видим, не только в России наблюдается недопонимание вопроса «зачем учить решению текстовых задач?» Обратим внимание и на другие аргументы зарубежных противников использования текстовых задач в процессе обучения. Вот обычная для нашей начальной школы задача.

Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?

А.Л. Тоом отмечает, что эта задача несколько лет назад была упомянута в «Учителе математики» со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды».

Далее А.Л. Тоом приводит задачу, которую специалисты считают пригодной для обучения:

Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?

Очевидно, что если задаваться вопросом «а кому это надо?», то и эту задачу надо считать негодной. Здесь дело в чем-то другом, и А.Л. Тоом находит разгадку: «Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. <…> Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите … это задача про бейсбол… многие дети любят играть в бейсбол… у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают мою догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание». [15]

Далее А.Л. Тоом приводит очень важное наблюдение: «Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать: «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании» [15].

Как видим, практика обучения решению задач без опоры на понимание учащимся смысла выполняемых им действий была характерна не только России. Отметим, что А.Л. Тоом не ограничивается критикой противников применения текстовых задач в процессе обучения. Размышляя над их «аргументами», он ищет и находит убедительные аргументы в пользу текстовых задач, на которые стоит обратить внимание. Развивая известные в России взгляды Дж. Пойа в вопросе «зачем учить решению текстовых задач?», он рассматривает влияние обучения решению текстовых задач на развитие воображения учащихся, на формирование первых абстракций и на развитие абстрактного мышления так необходимого для обучения математике. К некоторым из перечисленных мыслей А.Л. Тоома мы еще вернемся в следующих лекциях.

К каким же результатам приводит работа с текстовыми задачами в зарубежной школе? Дискуссии специалистов, которых мы кратко коснулись, и сведения о том, что большинство студентов первых курсов американских университетов не умеет решать простейшие задачи в несколько действий, многочисленные примеры из статей А.Л. Тоома (и других источников) говорят об одном: в зарубежной массовой школе никогда не было того опыта использования текстовых задач в процессе обучения, какой был когда-то в России. Опыт обучения решению текстовых задач в зарубежных странах просто иной.

Например, учащиеся шестых классов массовых школ Израиля решают, по сути, не задачи, а облеченные в словесную форму примеры на выполнение арифметических действий. «В отдельных случаях для решения нужно выполнить два (и страшно подумать!) три действия, — пишет в частном письме В. Романовский, — но израильский учебник для 6 класса ни в какое сравнение не идет с учебником серии «МГУ–школе». Его, пожалуй, можно сравнить с учебником Л.Г. Петерсон для 3 класса, однако и этот учебник, на мой взгляд, гораздо предпочтительней».

Вот пример использования текстовых задач во Франции. Правда, обсуждаемая здесь задача требует для своего решения привлечения геометрических фактов, но интересно отношение преподавателей университета (!) к возможности включения такого типа задач в контрольную работу.

«В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая. <…>

Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления.

Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит…» И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы)» [16].

Рассмотрим последний и, быть может, не самый убедительный аргумент, подтверждающий наши выводы. Ниже приведены «правила» автор которых неизвестен (перевод А.Л. Тоома). Они были посланы на один американский дискуссионный лист под названием math-teach. Все дискуссии на этом листе доступны на Интернете. Эти «правила» можно посчитать шуткой, но мы помним, что в каждой шутке есть доля правды.

Правило 1. Насколько возможно, избегай читать условие задачи. Чтение условия только отнимает время и запутывает.

Правило 2. Выпиши все числа из условия в том порядке, в каком они там даны. Не забудь о числах, написанных словами.

Правило 3. Если правило 2 дало тебе три числа или больше, то лучше всего сложить их все.

Правило 4. Если чисел только два, и они примерно одной величины, то лучше всего вычесть одно из другого.

Правило 5. Если чисел только два и одно много меньше другого, то попробуй разделить, а если не разделится, то перемножь.

Правило 6. Если у задачи такой вид, как будто надо применить формулу, выбери формулу с достаточным числом переменных, чтобы использовать все данные.

Правило 7. Если с правилами 1-6 ничего хорошего не получается, сделай последнюю отчаянную попытку. Возьми все числа, полученные с помощью правила 2, и заполни страницы две всевозможными операциями с ними. Затем обведи кружком пять-шесть полученных чисел на каждой странице на случай, если какое-нибудь из них окажется ответом. Может и получишь что-нибудь за то, что старался.

Публикуя «правила» 1-7 в лекции, посвященной использованию текстовых задач в процессе обучения в школе, мы выражаем надежду, что умение школьников (и учителей) России решать текстовые задачи еще не доведено до такого отчаянного состояния, что нам не остается ничего другого, как поместить «правила» в виде плаката на классной стене и при столкновении с мало-мальски сложной задачей задаваться вопросом: «а кому это надо?» Мы очень надеемся, что такое печальное событие не произойдет, что уникальный российский опыт развития учащихся в процессе обучения решению текстовых задач не будет утрачен окончательно, что интерес учительства к важному резерву повышения результативности обучения математике и другим предметам удастся возродить.

Завершая первую лекцию, сформулируем несколько положений, к аргументации которых мы еще вернемся при освещении методики работы с соответствующим задачным материалом.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.
Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.
Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.
Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Вопросы и задания

1) Укажите пять наиболее важных, на ваш взгляд, аргументов в пользу применения арифметических способов решения текстовых задач в процессе обучения арифметике в начальной школе и в 5-6 классах.

2) Считаете ли вы необходимым в начале 5 класса решать с детьми задачи по программе начальной школы? Почему?

3) Какие общеучебные умения позволяет развивать работа с текстовыми задачами?

4) Если использовать арифметические способы решения задач в процессе обучения, то необходимо предъявлять их учащимся в определенном порядке. Установите такой порядок, расставив номера предложенных ниже типовых задач на:

o все действия с натуральными числами ___

o пропорции ___

o проценты ___

o нахождение части числа и числа по его части ___

o нахождение двух чисел по их кратному отношению и разности (задачи на части) ___

o нахождение двух чисел по их кратному отношению и сумме (задачи на части) ___

o нахождение двух чисел по их сумме и разности ___

o движение (одного пешехода, велосипедиста и т.п.) ___

o движение (двух пешеходов и т.п.) ___

o движение по реке ___

o все действия с дробями ___

o смеси и сплавы ___

o совместную работу ___

Сравните выбранный вами порядок включения задач в учебный процесс с тем порядком, который будет предложен в следующих лекциях.

Используемая литература

Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Выпуск I. Арифметика и алгебра. Перев. с нем. П.С.Юшкевича. М.–Л.: 1932.
Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики для учителей средних учебных заведений. Изд. 2-е испр. и доп.– СПБ.: 1912.
Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. – М.–П.: 1923.
Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач/Вопросы методики математики. – М., – 1946. – С. 7–28. – (Изв. АПН РСФСР, вып. 6).
Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М.: Просвещение, 1965. – 224 с.
Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления школьников/Советская педагогика, 1974, № 6.
Нешков К.И. Единый курс математики I–V классов/Проблемы совершенствования содержания и структуры школьного курса математики. – М.: НИИСиМО АПН СССР, 1981. – С. 59–68.
Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты/Математика в школе, 1988, № 4.
Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике. С решениями и методическими указаниями. Пособие для учителей I–IV классов. – М.: 1967.
Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов Математика. Учебник для 5 класса средней школы. М.: 1990. – 304 с.
Волович М.Б. Преемственность при обучении математике в 5-6 классах/Математика, 2004, № 33.
Арнольд В.И. Избранное — 60. — М.: ФАЗИС, 1997.
Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы/Математика, 2004, № 47.
Тоом А.Л. Наблюдения математика над математическим образованием/Архимед: Научно-методический сборник. Выпуск 1, 2005. – 100 с.
Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, № 14.
Доценко В.С. Пятое правило арифметики/Наука и жизнь, № 12, 2004.

Примечание. Статьи [13]–[16] см. на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www.shevkin.ru).