В статье говорится, как автор учит первокурсников университета решать текстовые задачи, и как это способствует их интеллектуальному развитию.
Ключевые слова: текстовые задачи, школа, университет, естественный язык.
Введение
Насколько я помню, текстовые задачи всегда присутствовали в математическом образовании в России. Никто не подвергал сомнению их важность в обучении, и никто не считал их особенно сложными. Уже в начальной школе дети решают некоторые простые задачи. С годами задачи становятся все сложнее. В результате выпускники многих средних школ имеют достаточный опыт в решении задач, так что университеты могут идти дальше. Это всегда было справедливо и для нероссийских частей СССР и некоторых других стран. Естественно, что, когда я стал взрослым и сам начал преподавать, я использовал множество текстовых задач. Теперь, более чем когда-либо, я уверен, что умение решать простые текстовые задачи практически совпадает с основами математической грамотности. Помимо простых, есть много более сложных текстовых задач, так что вы можете многое добавить к опыту своих студентов, продвигая их от элементарных к более сложным задачам, то есть — к профессиональной математике. Простые текстовые задачи еще более полезны тем, кто никогда не станет профессиональным математиком.
С тех пор, как я прибыл в Америку, я каждый год преподавал на университетском уровне. Хотя сейчас я не преподаю на школьном уровне, я отлично знаю, как подготовлены мои студенты. Многие из моих теперешних студентов, похоже, имеют весьма мало опыта в решении задач в школе, так что мне приходится восполнять этот пробел. Более того, я обнаружил, что даже простые задачи считаются здесь сложными. Например, Милдред Джонсон, посвятившая очень полезную книгу (1) подробным объяснениям, как решать простейшие задачи, пишет в предисловии: «В алгебре нет области, вызывающей у учащихся больше затруднений, чем решение текстовых задач». Так что я решил объяснить, как я использую задачи, преподавая колледж-алгебру в университете Воплощенного слова. (Колледж-алгебра — это первый курс математики университетского уровня в нашем университете.)
Я прихожу в класс с солидным запасом мела и губок. Во время занятия я приглашаю к доске по четыре студента одновременно и диктую задачу всем четверым сразу. Задачи одинаковые, кроме одного параметра. Например, я говорю им:
Задача 1. У Мэри в копилке сто монет, несколько по десять центов, остальные по 25 центов. Всего у нее…
Пока студенты пишут это, я соображаю, что, если бы все монеты были по десять центов, у Мэри было бы десять долларов. Если некоторые десятицентовики заменить на монеты по 25, ее капитал увеличивается кратно 15 центам. Итак, я продолжаю, обращаясь к каждому из студентов по очереди:
…тринадцать, шестнадцать, девятнадцать, двадцать два доллара. Сколько у Мэри монет по десять центов и сколько по двадцать пять центов?»
Очень скоро студенты понимают, чего я хочу, и почти не тратят времени на то, чтобы записать это правильно.
Я говорю студентам, что когда они находятся у доски, они «учителя» и должны стараться писать разборчиво, чтобы другие их поняли. Если студент использует переменную, скажем, Х, я требую написать, что это Х значит. Для некоторых это трудно, и эта трудность полезна, поскольку заставляет их думать четче. Иногда я прошу объяснить решение вслух, адресуясь к аудитории. (В противном случае, они склонны шепотом обращаться ко мне или к доске.) Я также говорю им, что только во время контрольных общаться запрещено, во всех других случаях они могут и должны помогать друг другу. Например, если студент у доски в растерянности, товарищ идет ему на помощь, и этот опыт полезен им обоим. В силлабусе (100) я написал: «Важно понимать, что учеба — не соревнование. Успех другого студента — не ваш провал, и провал вашего товарища — не ваш успех».
Решение обычно занимает от пяти до десяти минут. Каждый из оставшихся на местах должен выбрать одну их четырех версий и работать над ней в то же время. Они делают это охотно, потому что знают, что я разрешу пользоваться записями во время контрольных. Я говорю им: «Если кто-то у доски делает ошибку, это ваша ошибка, потому что вы должны проверять друг друга. У меня нет времени проверять каждое вычисление. Даже если я вижу, что на доске написано неправильно, не скажу». (На самом деле я не оставляю ни одной ошибки неисправленной.) Время от времени в разных углах аудитории образуются группы студентов, обсуждающих задачу. Когда все четыре варианта решены, я спрашиваю: есть ли вопросы. Я также делаю комментарии, объясняя, что одна и та же задача может решаться разными способами, используя одну или две переменные или вовсе неалгебраически.
Таким путем я исправляю многие скверные привычки у студентов. Одна — это небрежная и неразборчивая манера записи. Складывая дроби или проделывая другие арифметические преобразования, некоторые студенты покрывают всю доску пересекающимися строчками и промежуточными результатами. Становится невозможно понять, что сделано, как сделано, правильно или нет и где ошибка. Другая плохая привычка — «немедленное стирание»: как только я говорю, что решение, записанное на доске, неверно — иногда даже если я говорю. что не понял, и спрашиваю, что это значит — все немедленно стирается, делая дальнейшую дискуссию невозможной.
Я напоминаю студентам, что они должны ответить на заданные вопросы и мы обсуждаем, что эти вопросы значат. Например, многие не могут сообразить, какое неизвестное имеется в виду, если их спрашивают: «Как далеко…?» или «Когда…?», или «Сколько времени понадобится…?» или «Как быстро…?». Мне приходится учить студентов тому, что при составлении уравнения они должны выбрать единицу измерения для каждой величины. Для денег — это доллары или центы и, что бы они ни выбрали, им придется привести все денежные данные к этой единице. Для времени это обычно часы или минуты, и все временные данные нужно унифицировать. Может быть, придется напомнить, что в часе 60, а не 100 минут. (Некоторые студенты, когда нужно превратить 1/3 часа в минуты, хватаются за калькулятор и получают в итоге 33,3 минуты.)
Мне приходится учить студентов организовывать данные. Прекрасный способ — помещать данные в таблицу. Позвольте показать, как это делается, на следующем примере.
Задача 2. Сколько чистой воды нужно добавить к 100 граммам 60% раствора кислоты, чтобы получить 20% раствор?
Большинство моих студентов не могут решить такую задачу, если я не дам им «шаблон» организации данных. Например, полезно разместить их в следующей таблице:
[Здесь по техническим причинам не воспроизведена таблица, имеющаяся в оригинале статьи. Она содержит четыре столбца, содержимое ячеек которой в каждой строке отделяется вертикальной чертой. — А.Ш.]
| Величины | Дано | Добавлено | Всего |
| Общая масса (г) | 100 | Х | 100 + Х |
| Процент кислоты | 60%=0,6 | 0%=0 | 20%=0,2 |
| Масса кислоты (г) | 0,6*(100)=60 | 0 | 0,2*(100 + Х) |
Поскольку количество кислоты не меняется в процессе, мы можем написать уравнение 60 = 0,2*(100 + Х), решив которое, получим ответ:
Х = 200 граммов.
Позвольте мне перечислить некоторые умственные операции, которые должны сделать студенты в ходе этого решения. (Все они нетривиальны, и в начале обучения студенты делают много ошибок.)
Написать подходящие и понятные названия строк и столбцов, такие, как
* «дано», «добавить», «всего», «объем» и так далее;
* разместить данные в соответствующих клетках;
* сообразить, что когда две смеси сливаются вместе, общая масса равняется сумме масс ингредиентов;
* сообразить, что. когда две смеси, содержащие кислоту, сливаются вместе, общее количество кислоты равняется сумме количеств кислоты в ингредиентах;
* сообразить, что чистая вода содержит 0% кислоты;
* заметить, что последнюю клетку можно заполнить двумя разными способами,
* следовательно, эти выражения равны одно другому, вследствие чего возникает уравнение, которое можно решить, чтобы получить ответ.
Я также говорю студентам следующее:
* пишите аккуратно;
* пишите каждый знак разборчиво;
* пишите каждое уравнение полностью и разборчиво, чтобы легко было проверить;
* аккуратно чертите таблицы;
* пишите цифры «0», «6» и «8» так, чтобы они отличались друг от друга;
* пишите цифры «1» и «7» так, чтобы они отличались друг от друга;
* не пишите букву «l» как вертикальную черту, она должна отличаться от цифры 1;
и много других вещей, очевидных для тех, у кого были хорошие учителя в детстве.
И это все математика? Ответ, конечно, зависит от того, как мы определяем математику. Но в любом случае, всему этому необходимо учить, иначе математики не будет.
Понятно, что большинство студентов не могут придумать все это самостоятельно. Я должен им сказать, и в этом нет ничего предосудительного. Даже этот курс для многих студентов слишком сложен. Некоторые колледж-алгебру вообще не изучают. Некоторые из тех, кто учит, стараются свести решение задач к еще более простым правилам. И нет ничего удивительного в таких трудностях. Вспомните, что алгебра у нас не в генах: она у нас в культуре. Передача культуры требует объяснений. Если объяснений не дано, человек теряется: неверно разносит данные по клеткам, путается в отношениях между расстоянием, временем и скоростью и т.д. Это не глупость или неполноценность; это недостаток выучки.
Одна из трудностей, которую я подбрасываю самым сильным студентам, это «невозможные» задачи. Предположим, я вызываю четверых к доске и диктую:
Задача 3. В полдень Боб вышел пробежаться трусцой со скоростью 5 миль в час. Часом позже Анна отправилась по тому же маршруту на велосипеде и догнала его (адресуясь каждому студенту по очереди) в 4, 6, 8, 10 милях от дома. Какова была скорость Анны?
Все четверо берутся за решение сходным способом. После всех мучений трое получают приемлемый ответ, но у первого ответ отрицательный. Я прошу всех помочь. Мы проверяем вычисления и видим, что ошибки нет. Иногда кто-нибудь из студентов дает верное объяснение, иногда мне приходится заметить, что, когда Анна только выехала, а Боб был уже в пяти милях от дома. Так или иначе, я довожу до сознания студентов, что они должны уметь проверить результаты своих вычислений, противоречащие здравому смыслу, и при необходимости заявить, что «ответа нет».
Самым важным для меня как учителя математики является следующее:
Научить студентов лучше понимать и использовать родной язык, чтобы точно передавать информацию;
Развивать способность студентов представлять информацию с пользой для постановки и решения задач;
Учить студентов переводить один в другой различные способы представления: естественный язык, алгебру, таблицы, графы;
Улучшить их манеры (разборчивый почерк, результативное общение, включая умение объяснить и понять объяснение).
Чтобы этого добиться, студентам необходимо дать определенные и точные «правила игры». Должно быть ясно, что дано, что спрашивается и как отличить верный ответ от неверного. Задачи, подобные описанным выше, для этого очень хороши.
Это можно иллюстрировать следующим примером. Однажды студентка попросила моей помощи при решении задачи, подобной Задаче 2. Я ответил: «Составьте таблицу». «Это обязательно?» — спросила студентка раздраженно. «Нет, но поскольку вы говорите, что не знаете, что делать, составьте таблицу». Студентка нехотя снизошла до составления таблицы, словно делая одолжение старому педанту, и решила задачу. Я сказал: «Теперь кое-что о преподавании. Вы просили меня помочь. Я помог?» — «Да». — «Но я же ничего не сказал». — «Вы сказали, чтобы я строила таблицу». Решение задач помогает студентам организовать свои мысли.
В ходе такого преподавания я пришел к выводу, что учить понимать и разумно использовать естественный язык — одна из наиболее насущных задач математического образования. В этом смысле всенародное математическое образование одновременно и гораздо меньше, и гораздо больше, чем обучение математике. Меньше, поскольку большинство студентов никогда не достигнут уровня профессиональных математиков. Больше, потому что математика — важная часть современной цивилизации, которая не заложена у нас в генах и требует выучки, чтобы передаваться следующему поколению.
Вы можете спросить: «Зачем нужно учить студентов их родному языку, если все они и так уже его знают?» Но есть разные уровни знания родного языка. Не требуется сколько-нибудь глубокого знания, чтобы обмениваться обычными приветствиями: «Привет! — Привет! — Как дела? — Отлично. — Ну, давай». Нужно гораздо больше, чтобы понять текст, описывающий какую-либо систему или формальное соотношение. Сестра Тереза Грабер, преподающая школьную алгебру (тем студентам колледжа, которые ее не знают), заметила: «Когда мои ученики не могут решить задачу, мы с ними обсуждаем, почему они этого не могут, и приходим к выводу, что они не умеют читать». Я возразил: «Но это же не в буквальном смысле». Она согласилась: «Нет, конечно. Я имею в виду недостаток понимания».
Я часто прошу студентов объяснять друг другу решения и считаю, что это исключительно ценный для них опыт. Когда студенты делают движения, изображающие такие «реальности», как движение автомобилей или течение в реке, они делают абстракции почти видимыми и осязаемыми. Я говорю «абстракции», потому что эти автомобили и течения не реальны и в этом их большое преимущество. Поскольку водители, насосы и другие «реальности», упоминаемые в задачах, очищены от незначащих деталей, они служат полуабстракциями, все же понятными для новичков. Это делает задачи отличным питомником для начального изучения математики и естественных наук. После обсуждений мои студенты пишут уравнения, в которых каждый знак основан на их зрительном и моторном опыте. Радость понимания, которую они ощущают — самая достойная награда за математическую работу. Именно эта награда соответствует целям и результатам обучения.
Заключение
Простые традиционные текстовые задачи необходимы для массового математического образования. Их главная функция — служить начальному развитию абстрактного мышления, а не прилагаться к практике в буквальном смысле. Многие выпускники школы не могут решить даже простые задачи, и университетам приходится наверстывать это. Возможно и желательно учить решать задачи гораздо раньше, уж во всяком случае не позднее, чем в старших классах.
Я полностью отвечаю за эту статью, хотя искренне благодарен тем, кто любезно отредактировал ее раннюю версию, особенно Мэдж Голдман и Ральфу А. Рейми.
Mildred Johnson (1992). How to solve word problems in algebra. A solved problem approach. Updated First Edition. McGraw-Hill.
Наши комментарии
[1] На мой вопрос, что такое силлабус, Андрей Леонович прислал ответ, который показался мне слишком длинным для вставки в нужном месте, но он важен для понимания смысла сказанного. Поэтому этот ответ приводим здесь: «Английское слово «syllabus», употребляемое мною в статье, означает листок, приготовляемый учителем в начале курса и раздаваемый всем студентам. Он содержит необходимую информацию: название курса, имя преподавателя, дни и часы занятий, дни и часы консультаций — когда профессор сидит в своем кабинете и студенты могут приходить разговаривать с ним, краткое содержание курса, рекомендуемая литература и проценты, из которых складывается отметка — контрольные, финальный тест и т.д.»
[2] В данной статье Андрей Леонович ставит задачу показать применение алгебраического способа решения задач, но на практике он показывает и другие способы решения, о чем говорится в другой его статье. Покажем арифметический способ решения задачи 2. В ней требуется уменьшить концентрацию раствора в 60:20 = 3 раза. Для этого достаточно увеличить общую массу раствора в 3 раза (при доливании воды масса кислоты не изменяется). Это означает, что воды надо долить
100*3 – 100 = 200 граммов.
А.Л. Тоом. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы [1]
Перевод с английского Е.А. Муравьевой
Так же, как Жерофски (1996), Томас (1997) и Бут (1998), печатавшиеся сравнительно недавно в этом журнале, я очень интересуюсь текстовыми задачами и хотел бы кое-что сказать об этом. На школьном уровне многие нетекстовые задачи — лишь технические упражнения, необходимые, но не слишком интересные. Многие интересные и нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Это не значит, что все текстовые задачи сложны, но все они требуют некоторого понимания естественного языка и способности переводить один в другой разные виды представления: слова, символы, образы. Это сходно с основной мыслью Томаса, хотя я не вполне согласен с его подходом к решению уравнений.
В России, где я вырос, текстовые задачи десятилетиями использовались на всех уровнях сложности, с различными целями — от распространения математической грамотности до «озадачивания» наиболее одаренных детей. Если вы откроете любую русскую книжку для младшей, средней или высшей школы, любой занимательный или олимпиадный сборник, вы обнаружите множество текстовых задач. Например, знаменитая книга Перельмана «Занимательная алгебра» содержит много превосходных задач, в том числе такую: Артель косарей должна была скосить два луга, один в два раза больше другого. Полдня артель косила больший луг. Затем артель разделилась. Половина работников осталась на большем лугу и закончила его к вечеру. Другая половина работала на меньшем лугу, но в этот день работу не закончила. Остаток скосил один работник на следующий день. Сколько было косарей? (1976, стр. 39).
Этой задаче больше ста лет. Известно, что Лев Толстой, весьма интересовавшийся вопросами народного просвещения, очень любил ее, потому что она решается визуально, без применения алгебры [2].
Здесь я хочу обратиться к следующему важному вопросу, заданному Жерофски: «Все это подводит меня к вопросу, на который у меня еще нет ответа, вопросу о целях текстовых задач как жанра» (стр. 41). Хотя русские учителя издавна используют текстовые задачи весьма продуктивно, они, насколько мне известно, никогда не пытались рационально объяснить, почему же текстовые задачи так полезны, потому что никому из них не приходило в голову в этом усомниться. Они руководствовались и продолжают руководствоваться традицией, опытом, интуицией и эстетическими критериями — и все это не стоит сбрасывать со счетов. Однако я согласен с Жерофски, что в настоящей ситуации надо обсудить, каковы же цели текстовых задач. Она замечает: «Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительно, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличие от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании, и эта традиция значима» (стр. 41).
Я убежден, что на ее вопрос нет единственного ответа: как многие другие культурные явления (басни, например), текстовые задачи имеют несколько целей. Здесь я сосредоточусь на двух и сравню их между собой: текстовые задачи как прикладные и как умственные манипулятивы.
Текстовые задачи как прикладные
В этом случае задача дает приложение математики к некой ситуации, возможной в повседневной жизни. Вот, например: «В магазине продаются апельсины по восемь штук за доллар. Покупатель хочет взять семь. Сколько он должен заплатить?» Эта задача основана на реальном случае из моей жизни. Я покупал продукты в магазине, где восемь апельсинов продавались за один доллар. Я положил (как мне казалось) восемь апельсинов в пакет и пошел к кассирше, которая сосчитала апельсины и сказала, что их только семь. Я попросил ее назвать их стоимость. Она схватилась за калькулятор, но не знала, что считать. Она позвала своего начальника с калькулятором побольше, но он тоже не мог сосчитать. Он пересчитал апельсины, обнаружил, что их восемь, тем дело и кончилось.
Я знаю, что истории о математической безграмотности молодежи рассказывают во множестве. Вопрос в том, что из этого следует? Некоторые образователи предлагают увеличить внимание к «задачам из реального мира», возможно, напоминающим вышеприведенную. Я утверждаю, что «задачи из реального мира» не могут составлять единственную или даже основную часть задач, используемых в классе, и могу привести два резона этому. Один в том, что изучение математики должно быть систематическим: если какая-то тема вообще изучается, то в результате нужно научиться решать все задачи в пределах определенных рамок сложности, и понятно, что они в большинстве своем не будут иметь ничего общего с реальной жизнью. Другой резон, по моему мнению, еще более важный, будет приведен ниже.
Текстовые задачи как манипулятивы
Эти задачи имеют дело с воображаемыми ситуациями, которым необязательно встречаться в повседневной жизни. Числовые данные необязательно брать из действительности. То, что требуется узнать, необязательно неизвестно или нужно в действительности, а то, что дано, не всегда доступно в повседневной жизни. Внутренняя последовательность или интересная математическая структура важнее, чем соотнесенность или значимость в реальности. Цель этих задач — ввести детей в основы математики — такие, как теория чисел, теория графов или комбинаторика, но избежать при этом сложностей профессиональной терминологии.
Конечно, эти две функции текстовых задач не исключают одна другой. Многие задачи, используемые в школах и входящие в сборники, являются смесью этих типов. Однако, многие из лучших и наиболее педагогически полезных задач явно принадлежат ко второму типу: они не из «реального мира». Их цель — передать математическую идею, то есть использовать подходящие конкретные объекты для представления или овеществления абстрактных математических понятий. Подобно животным в баснях, «реальные объекты» в этих задачах не следует понимать буквально. Это аллегории, умственные манипулятивы или овеществления, прокладывающие детям дорогу к абстракциям.
Например, монеты, орехи и пуговицы легко отделить друг от друга и сосчитать, и поэтому они удобны для представления отношений между целыми числами. Самым младшим детям нужны реальные предметы, которые можно потрогать, более старшие могут их себе представить — это уже следующий шаг в интеллектуальном развитии. Вот почему задачи с монетами так хороши для начальной школы. Насосы и другие механические устройства легко вообразить работающими в постоянном режиме. Задачи на производительность и скорость должны быть (и в России являются) обычными уже в средней школе. Поезда, автомобили и корабли так широко представлены в задачниках не потому, что все ученики собираются заниматься транспортным бизнесом, но по иной, гораздо более здравой, причине: эти объекты легко представить себе движущимися с постоянной скоростью, и поэтому они подходят для овеществления представления о постоянном движении, что, в свою очередь, может служить овеществлением линейной функции. Таким образом, мы можем вести детей все дальше и дальше по пути деконкретизации, то есть — развивать абстрактное мышление.
Давайте не забудем, что формальное и абстрактное мышление, необходимое, чтобы преуспеть в современном цивилизованном технологическом обществе, не является автоматическим результатом физиологического созревания или социальной адаптации. Дети не научаются мыслить формально или абстрактно так же естественно, как они научаются бегать, прыгать или говорить.
Умение решать школьные задачи само по себе не есть, конечно, результат. В школе ученики получают начатки научной информации и научного мышления. Невозможно было бы создавать, проверять и использовать научную информацию, если бы каждое отдельное рассуждение нужно было бы сравнивать с реальностью или с доступной информацией о реальности (Тульвисте, 1991, стр. 122).
Такие наблюдения (и сходные, приведенные Бутом (1998) в его статье в данном журнале) заставляют меня думать, что обучение решению задач из «нереального мира», в которых следует воспринимать данные как абстрактные гипотезы, а не утверждения о реальности, и делать выводы из этих данных, очень важно для формирования способности к формальному рассуждению.
Необходимость прилагать сознательные и организованные усилия к развитию у детей абстрактного мышления особенно очевидна в такой стране, как Россия, где исторически многие люди были необразованными. Например, в начале этого столетия множество россиян были неграмотными, и я уверен, что теоретические воззрения Выготского следует рассматривать в связи с мощным движением к народному образованию, имевшим место в России в конце девятнадцатого и начале двадцатого веков. Этот просветительский пафос можно ощутить и в работах Перельмана, опубликовавшего несколько замечательных популяризаций математики, включая «Занимательную алгебру».
Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни.
Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Эдварда Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью» (1926, стр. 258).
Хотя Торндайк старался придерживаться строго научного подхода, такие слова, как «настоящий» с одной стороны и «нереальный и бесполезный» с другой — имеют сильный оценочный оттенок, как те, что используются (верно или неверно) в политической пропаганде.
Давайте применим подход Торндайка к задаче, приведенной в начале. Задача Льва Толстого. Разве могут несколько человек, косящих луг, не знать, сколько их всего? Конечно, нет. Таким образом, по критерию Торндайка, задача нереальна и бесполезна и, если дать ее детям, вызовет ощущение никчемности. Однако, уверяю вас, это не так.
Существует важное сходство между детской игрой и математикой: в обоих случаях исключительно важно творческое воображение. Идея не нова. Например, Мартин Гарднер (1959) писал: «Возможно, даже за чистой математикой скрывается потребность в игре».
Однако, многие, похоже, следуют больше Торндайку, чем Гарднеру. Например, в статье Залмана Усыскина (1995), перепечатанной в журнале «Учитель математики» на 75-ю годовщину Национального Совета Учителей Математики США, говорится: «Алгебра имеет так много приложений, что дутые традиционные задачи больше не нужны» (стр. 159). Объяснение, как мне кажется, в том, что существует и действует странная, но широко распространенная теория, которую я бы назвал теорией не-переноса. Согласно этой теории дети не могут переносить умения и знания из класса в жизнь за пределами школы и, поскольку целью образования является просто лучшее приспособление к этой самой жизни, занятия должны быть заполнены задачами, которые люди решают в повседневной жизни. К тому же, детей никак не может интересовать то, что не связано с повседневностью.
Вот всего один пример. Такая задача может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений: Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас? Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов». (Смит,1994,стр.85).
Как пример противоположного, гораздо более продуктивного подхода, позвольте мне снова процитировать Перельмана. Вторая часть его книги, называемая «Язык алгебры», состоит из 25 разделов, каждый из которых посвящен определенной обучающей задаче. Один из них, «Уравнение думает за нас», начинается так: «Если вы не верите, что уравнение иногда гораздо благоразумнее нас, решите следующую задачу: Отцу 32 года, сыну 5. Через сколько лет возраст отца в десять раз превзойдет возраст сына?»
Уравнение составлено и решено, но результат отрицательный: –2, что же это значит? Перельман объясняет: «Когда мы составляли уравнение, мы не думали, что возраст отца никогда не будет в десять раз больше возраста сына в будущем, — такое соотношение могло иметь место только в прошлом. Уравнение оказалось более думающим и напомнило нам о нашем упущении».
Я считаю, что этот комментарий по-настоящему поучителен: сказку стоит рассказать ради морали, и для меня это весомая причина для такого обсуждения.
Представьте, что какие-то воображаемые учителя литературы в некой стране профессионально обучены так, что считают бесполезными все сказки, басни и фантастические рассказы. Когда им рассказывают басню, где животные разговаривают друг с другом, они не могут ее уразуметь и получить нормальное удовольствие, как это делают дети, но мучают свое воображение, пытаясь представить, как такое могло случиться в реальной жизни: или животных специально учили говорить? Или им сделали какую-то операцию? Или это переодетые люди? И так далее.
Я, конечно, не имею в виду, что все дети должны интересоваться или интересуются неуклюжими или неестественными сюжетами. Я не призываю использовать случайные или хаотичные задачи. Напротив, я считаю, что задачи должны быть математическими проблемами, представленными в доступной для детей форме, и их качество зависит в первую очередь от качества их внутренней математической структуры, а также от их изящества и доступности. Это значит, что они не должны быть перегружены незначащими или случайными деталями.
Хорошая задача должна быть эстетически притягательна как предмет искусства. Возьмем басню Эзопа «Ворона и лисица». С одной стороны, она пользуется образами, известными каждому ребенку, с другой — в ней нет незначащих деталей. Однако, с упомянутой выше странной точки зрения, эта басня может быть полезна только тем, у кого есть шанс в некоем уже предусмотренном будущем взгромоздиться на ветку с куском сыра во рту.
Мы имеем здесь дело с одним из главнейших законов культуры: человеческая культура никогда не отражает реальность один к одному. Она сгущает, упрощает, идеализирует. Географические карты не могут и не должны быть равны тому ландшафту, который они представляют. Создания человеческого ума подчинены суровому закону экономии: избытка следует избегать, каждая деталь должна служить своей цели.
Хорошая задача обладает всеми теми же свойствами, которые генерал Чак Йагер (первый, кто летал быстрее звука) приписал хорошему самолетному двигателю: «простой, частей немного, легко управлять, очень сильный» (цитировано у Бентли, 1989, стр. 6). Многие из так называемых задач «реального мира» запутаны и небрежны. Реальный мир полон хлама, излишеств, нелепости и скуки, всего того, чего следует избегать на уроках математики.
Jon Bentley. Programming Pearls. Addison-Wesley, 1989.
Susan Gerofsky. A Linguistic and Narrative View of Word Problems in Mathematical Education. For the Learning of Mathematics,16, 2 (June 1996), pp. 36-45.
Robert Thomas, Susan Gerofsky. An Exchange about Word Problems. For the Learning of Mathematics, 17, 2 (June 1997), pp. 21-23.
Ya. I. Perelman. Recreative algebra. Nauka, Moscow, 1976.
Peeter Tulviste. The Cultural-Historical Development of Verbal Thinking. Translated by Marie Jaroszewska Hal. Nova Science Publishers, 1991.
Edward L. Thorndike a.o. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Simon and Schuster, New York, 1959.
Zalman Usiskin. What Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of Average College-Bound Students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2, February 1995, pp. 156-164.
Michael K. Smith. Humble Pi. Prometeus Books, 1994.
Наши комментарии [1] Приводим толкование термина, принадлежащее автору статьи. Манипулятив — это любой физический предмет, используемый при обучении математике для овеществления каких-либо абстракций. Всем известный пример — счетные палочки. В настоящее время в Америке очень модно всячески преувеличивать значение манипулятивов. Конечно, они необходимы маленьким детям, но по мере их взросления становятся нужны все меньше. Вместо буквальных, ощутимых манипулятивов становятся нужны воображаемые, умственные манипулятивы, ради которых, собственно, и написана эта статья. Когда в старших классах ученики рассуждают о том, сколькими способами комиссия из десяти человек может выбрать председателя, секретаря и казначея, то это не приложение комбинаторики к организационной работе; это комбинаторика, а комиссия и т.д. — умственный манипулятив.
Потребность в умственных манипулятивах никогда не кончается, она присуща и профессиональным математикам на самом высоком уровне. Вот пример — рассказ Роланда Львовича Добрушина в интервью, данном им Евгению Борисовичу Дынкину: «Ну вот, я помню задачу, на которой я понял, что такое теория вероятности. Это была задача, которая была сформулирована для нас, слово «вероятность» не знавших. Это задача такая: есть N резервуаров, из каждого из них какая-то доля воды переливается в другой резервуар, и надо доказать, что количество воды в данном резервуаре стремится к пределу. Честно говоря, я думаю, что для меня до сих пор так вероятность и осталась водой, жидкостью, которая переливается из одного сосуда в другой. Так я себе и мыслю случайный процесс. (Роланд Львович Добрушин. К 70-летию со дня рождения. Москва, 1999, с. 9.)
[2] Визуальное решение может быть таким. Один прямоугольник, изображает у нас больший луг и второй прямоугольник, площадь которого в 2 раза меньше площади первого — изображает меньший луг. 2/3большего луга скосила вся бригада за полдня, следовательно, за день она скосила 4/3 большого луга (весь большой луг и 1/3 меньшего), а один косец за день скосил 1/2 – 1/3 = 1/6 большего луга. 4/3 больше 1/6 в 8 раз, следовательно, в артели 8 косцов.
[3] Чтение статьи А.Тоома навело меня на мысль добавить к ней еще один комментарий. Он относится к цели использования текстовых задач. У нас в России тоже были и есть специалисты, видящие цели использования задач достаточно узко: только применение результатов на практике. Здесь очень уместен вопрос: так ли глупы были китайцы, дававшие во II в. задачу такого содержания.
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт, ни проконтролировать момент встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение полученного результата (да еще дробного!), а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка? Не случайно же именно китайцы изобрели порох, бумагу. Впрочем, пример с басней Эзопа из статьи А.Л.Тоома кажется мне еще убедительней!
Я — русский математик и преподаватель, двадцать лет занимался исследовательской работой и учил студентов в Московском Университете, затем, как и многие другие, уехал в США. В этой статье я хочу рассказать о моем преподавательском опыте в России и Америке.
Российские контрасты
Американские представления о России так же противоречивы, как и сама Россия. Многие годы Советская Россия воспринималась, как «империя зла». С другой стороны, в Америке существовало движение «Спутник», сторонники которого утверждали, что русская образовательная система намного лучше американской. Понятно, что эти представления не стыкуются. Я начну с пояснения этого видимого противоречия.
Власть коммунистов в России возникла на обломках царизма, при котором многие люди в России не были допущены к образованию. Первые коммунисты с энтузиазмом пели «Интернационал» — «Кто был ничем, тот станет всем». Никто не знал точно, что это значит, но многие были полны энтузиазма. Многие из тех первых коммунистов искренне считали себя представителями народных интересов, но невежество мешало им в течение всего их правления. Выразительный пример описан в романе Фурманова «Чапаев». Герой Чапаев настаивает, чтобы малообразованному человеку дали официальный документ, подтверждающий его познания в медицине, наивно полагая, что именно наличие документа делает человека врачом.
Коммунисты давали весьма демократично звучащие обещания, особенно насчет того, что дети «пролетариев» получат неограниченные образовательные возможности. Дети рабочих и крестьян-бедняков действительно имели преимущества при поступлении в любые учебные заведения, а преподаватели, которые ставили им плохие оценки, могли быть обвинены в контрреволюционной деятельности. Всего лишь поколение спустя Россия получила тысячи наскоро натасканных инженеров и ученых пролетарского происхождения. Один из таких «пролетарских ученых», академик Лысенко, давал фантастические обещания, которых так и не сдержал. Однако, он производил впечатление на советских вождей, от Сталина до Хрущева, поскольку они тоже были псевдообразованными. Целая ветвь биологии, генетика, была объявлена «буржуазной лженаукой», поскольку Лысенко был против нее.
То, что псевдообразованные пролетарские «ученые» были преисполнены самомнения, свысока смотрели на «буржуазную науку», считали себя выше всех, поскольку имели бедных родителей и руководствовались «самым верным учением в мире» — марксизмом, привело к многочисленным промышленным и экологическим бедствиям. Однако коммунисты никогда не признавались в этом, а все приписывали козням «врагов». Многочисленные «враги» были арестованы и, якобы, признались. Народные массы, к этому времени уже считавшиеся «образованными», верили этим признаниям. Но, бедствия продолжались и, чтобы объяснить их, властям приходилось разыскивать все больше и больше «врагов». Идя таким путем, Россия постепенно стала мировым лидером по растрате природных ресурсов и загрязнению среды: один Чернобыль чего стоит.
Мне было одиннадцать, когда умер Сталин. Долгие годы советских людей, особенно молодежь, учили, что не следует сомневаться в коммунистических догмах. Повсюду прославляли Сталина, называя его «величайшим гением всех времен и народов». Однако, можно было читать много русской и иностранной литературы, включая и американских авторов. Публикации зарубежных авторов были возможны потому, что они критиковали «буржуазное общество». Марк Твен, Джек Лондон, Эрнест Сетон, О’Генри, Эдгар Аллан По, Поль де Крюи, Эрнест Хемингуэй, Рей Бредбери были среди моих любимых писателей.
Хорошо помню, как читал книгу об ученом, доказавшем, что у насекомых нет разума — только инстинкты. На самом-то деле он доказал, что поведение насекомых эффективно только в ситуациях, которые для них обычны. Когда экспериментатор специально создавал необычную ситуацию, насекомые совершали те же стандартные действия, хотя они явно были бесполезны в этой новой ситуации, отличавшейся от тех, к каким они приспособились в процессе эволюции. Это произвело на меня впечатление, я понял, что пропаганда пыталась превратить нас в некое подобие насекомых.
Я думал тогда и думаю теперь, что самый важный долг учителя — учить людей поступать разумно в необычных ситуациях. Когда я преподавал в России, меня искренне благодарили за это. Но я сталкивался с сильным сопротивлением некоторых моих американских учеников именно тогда, когда старался дать нечто непривычное. Они желали делать такие же тесты, какие делали прежде, только датированные другим числом. Вот поэтому-то я и решил написать эту статью.
Антиинтеллектуализм всегда играл важную роль в советском менталитете. Слово «Интеллигент» (русский вариант интеллектуала) было оскорбительным в течение всего правления Сталина. Советские вожди считали себя вправе навязывать свои мнения ученым и художникам. За годы советской власти многим представителям интеллектуальной прослойки пришлось эмигрировать, и при сегодняшней «демократии» положение не изменилось, поскольку многие ключевые позиции в российской науке до сих пор заняты теми, кто сделал карьеру политическими средствами.
Я всегда был уверен, что по-настоящему хорошее образование — это самый ценный вклад, который интеллектуалы страны могут сделать в ее будущее, в том числе для ее демократизации. Вспомним, что Великая Французская Революция была подготовлена Веком Просвещения. Очевидно, что самые худшие черты советской власти были связаны с тем, что правили псевдообразованные люди, получившие свои дипломы как «пролетарии», но беспокоившиеся только о карьере. Понятно, что советские чиновники всегда с подозрением относились к людям независимо мыслящим и по-настоящему интеллигентным.
В ответ на это, хорошее преподавание, стремящееся дать студентам настоящие знания, всегда было исполнено духом сопротивления советским чиновникам, поскольку предполагало реалистичность, широту и критичность мышления. Когда хороший преподаватель математики старался заставить своих учеников мыслить доказательно, он понимал, что такое влияние простирается далеко за пределы математики, — оно поддерживает жизнь критического духа. Обучение без мысли было связано с тиранией коммунистов, а обучение, предлагавшее решение нестандартных задач, было связано с независимостью и критичностью. По этой причине, например, книги Георга Пойя о преподавании воспринимались с опаской российскими чиновниками — это были книги о широте и критичности мышления более, чем о преподавании математики. Мы знали, что Пойя был не одинок, он ссылался на других ученых, например, на Макса Вертгеймера и его понятие «продуктивного мышления».
В годы хрущевской оттепели некоторые новые иностранные книги стали доступны и в России. Думающие люди в России очень внимательно читали всех зарубежных авторов, каких могли найти. Много важных понятий пришло из Америки: авторитарная личность (Теодор Адорно), групповое давление (Соломон Эш), подчинение авторитету (Стенли Милгрэм). Книга Эрика Берна «Игры, в которые играют люди» позволила нам понять, какую грязную игру ведут с нами власти. Книга Томаса Куна о революциях в науке была для нас книгой об идеологических революциях. Идея Милтона Рокеча об открытых и закрытых умах открыла наши умы. Джон Холт, критикуя американскую школу, заставил нас понять, что наша школа заслуживает еще худшей критики.
О себе
Мои родители принадлежали к артистическим кругам, и давление цензуры было постоянной темой разговоров. Если им случалось слишком сильно обстричь дерево, они говорили с сожалением: «М-да, отредактировали деревце». Точные науки обеспечивали максимально возможную степень независимости от властей, и мои родители с завистью говорили о математиках, которые могли позволить себе говорить чистую правду, да еще и получать за это деньги, а не неприятности. Они не могли помочь мне в изучении наук, но ждали от меня умственных усилий, и это было важно.
Позже мне очень помог мой школьный учитель математики, Александр Шершевский. Он стремился стать ученым, но не мог, поскольку в студенческие годы был замешан в «политике». (Должно быть, это была какая-то мелочь, иначе не ходить бы ему на свободе.) Меня восхищало его ответственное отношение к своему делу. Он уговорил меня посещать кружки – неофициальные математические занятия в Московском Университете. Там преимущественно занимались решением нестандартных задач. Каждый год проводилась олимпиада – конкурс на решение задач. Каждая задача была новой, непохожей на другие, и требовала нетривиальной идеи и строгого доказательства. Давалось пять часов на решение пяти задач. Обычно каждый, кто решил хотя бы одну задачу, получал приз. Так я получил несколько призов. Это убедило меня, что я смогу стать математиком. Когда я закончил школу и поступил на математический факультет Московского Университета решение задач естественно привело меня к научной работе.
С первого курса я был убежден, что компетентный математик-ученый должен заниматься и преподаванием, поскольку перед глазами у меня были прекрасные примеры. Знаменитый Колмогоров создал Математический интернат как часть Московского Университета, и я преподавал там. Академик Гельфанд организовал Заочную школу, и я консультировал ее преподавателей. В «Компьютерном клубе» меня прозвали «завучем» (1). Александров, Арнольд, Болтянский, Добрушин, Дынкин, Ефимов, Кириллов, Лупанов, Постников, Пятецкий-Шапиро, Синай, Цетлин, Успенский, братья Яглом и другие первоклассные математики всегда охотно читали лекции и общались со студентами. Множество новых и оригинальных задач из разных областей математики и различного уровня сложности были созданы для всех — от младших школьников до студентов-выпускников и молодых математиков-профессионалов. Теперь я был среди тех, кто создавал задачи для старших школьников и студентов университета. Давая консультации, я предлагал задачи, интересовавшие меня, и мы решали их вместе. Больше всего студенты добивались от преподавателя, чтобы он сообщал им нечто новое.
Типичным примером был Леонид Васерштейн (тогда студент), который мог заявить посреди доклада: «Все это тривиально». Если не иметь в виду ситуацию, это может показаться невежливым, но в той обстановке это было как раз полезно. Он требовал от коллег высокой компетентности. Вскоре ему пришлось эмигрировать. Теперь он профессор Университета Пенсильвании (Pennstate University). Его судьба типична: тогдашние руководители Московского Университета, неважные ученые, но твердокаменные коммунисты, использовали любые предлоги (особенно антисемитизм), чтобы избавиться от талантливых молодых ученых и укрепить собственные позиции.
Как только целью обучения становились настоящие знания, отношения с властями отходили на второй план. Оценки были лишь необходимостью, как и любой внешний контроль. Например, когда я преподавал в интернате Колмогорова, я просто ставил всем высшие оценки, поскольку они, несомненно, заслуживали их в соответствии со средним уровнем, а я хотел избавить их от проблем с властями. Но наши ученики прекрасно понимали, что от них ждут гораздо больше, чем от средних учеников, и работали во всю силу.
Любая школа, где поддерживалась независимая и творческая мысль, становилась питомником политического вольнодумства. Математический факультет Московского Университета не был исключением. Время от времени здесь происходили политические конфликты, в которых я участвовал. У меня были неприятности и, возможно, это способствовало моей эмиграции.
Около половины из моих шестидесяти публикаций посвящены математике, остальные — проблемам преподавания и гуманитарным наукам. Из этой второй половины ни одна статья не была напечатана так, как мне хотелось. Все время приходилось помнить о цензурных рамках. Это не было произволом отдельных редакторов, но давлением советской системы в целом. Например, когда я приносил статью в газету «Известия», мой осторожно-смелый редактор, Ирина Овчинникова, каждый раз восклицала: «Ох, Андрей, неужели вы думаете, что это можно напечатать?», и вычеркивала наиболее острые фразы, чтобы спасти остальное.
Мои математические исследования не могли улучшить моего положения в университете, поскольку коммунистические бюрократы хорошо понимали, что я никогда не буду солидарен с ними. Мои работы были известны за границей, но мой начальник вовсе не считал их ценными, поскольку ему не удавалось присвоить их. Я получил несколько приглашений из зарубежных университетов, но власти не разрешали мне выехать. Лишь по случайности в 1989 году я оказался в Италии и решил принять все имевшиеся у меня приглашения и не возвращаться назад. Из Рима я уехал в университет Ратгерс (Rutgers), затем в Бостон, затем в Остин, штат Техас. Наконец, я оказался в Колледже Воплощенного Слова, где работаю и сейчас, но об опыте работы здесь писать еще рано.
Преподавание «Алгоритмов» в Бостонском Университете
Существует массовое убеждение, что Соединенные Штаты поддерживают демократическое движение в России. В моем представлении демократия всегда связывалась с хорошим образованием для всех людей, и я знал, что так думают и сами американцы. Итак, когда я приехал в эту страну, я ожидал получить большие возможности учить студентов мыслить критично, независимо и продуктивно, не встречая препятствий со стороны властей. Мое первое впечатление не противоречило этим ожиданиям.
Мне предложили читать курс «Анализ алгоритмов» аспирантам факультета компьютерных наук Бостонского университета. Имелся отличный учебник Кормана, Лейзерзона и Райвеста. Руководство факультета пользовалось очень разумным правилом — давать полную свободу преподавателю, а я постарался применить его на благо своим студентам. За один семестр было пройдено больше половины материала, содержавшегося в этой объемистой книге. Математическое вступление было особенно полезным, поскольку я заполнил многие пробелы в предыдущем образовании моих слушателей.
Мои 19 студентов прибыли со всего мира, но большинство из них прекрасно сотрудничали друг с другом. После каждой лекции они собирались, обсуждали задачи, которые я им давал, и решали их вместе. Некоторые задачи я составлял сам.
Не было и проблем с оценками. Факультет дал мне «карт-бланш» и я использовал ее во благо моих студентов: почти все занимались усердно и получили хорошие оценки.
«Он должен учить по книге… »
Но в следующем году, когда я начал преподавать так называемый бизнес-калькулюс (2) в громадном университете штата, я оказался в совершенно новой ситуации. Все мои идеи насчет того, что студентов нужно учить думать, оказались совершенно не к месту. Больше всего меня поразило то, что многие студенты вообще не хотели, чтобы их учили думать, справляться с трудностями и решать интересные задачи. Они хотели лишь получать хорошие оценки с регулярностью конвейера.
Представьте себе, что рабочему на конвейере приходит в голову некая интересная мысль, и он пытается воплотить ее в работе. Понятно, что у него будет много неприятностей. Именно это случилось со мной, когда я впервые столкнулся с американскими студентами. Многие студенты вполне довольны, когда преподаватель просто повторяет и объясняет то, что написано в учебнике. Возможно, им самим трудно прочесть, что там написано, хотя большинство учебников элементарно просты. Сперва я этого не понял, и один студент написал про меня: «Он должен преподавать по книге и давать на экзамене примеры из текста или похожие».
Я был поражен, что не могу найти ни одной нестандартной задачи в учебнике. Но я сказал себе: вот хороший случай показать, что я умею! Я УМЕЮ придумывать нестандартные задачи! ТАК я и сделал! И мой первый тест полностью провалился: он оказался настолько сложным для студентов, что большинство из них получили очень низкие оценки. Оказалось, что чисто технические вычисления, на которые я привык не обращать внимания, для многих студентов представляли значительную сложность. Далеко не сразу я понял, что они не владеют элементарными алгебраическими преобразованиями. Потом, готовя очередной тест, я старался сделать его как можно проще, и все же это не всегда удавалось; тесты оказывались слишком сложными.
Шли месяцы, и я вывел следующее правило: если проблема интересна для меня, она слишком сложна для студентов; лишь тривиальные задачи можно давать для теста. Когда я готовил тесты, мне приходилось несколько раз переделывать задачи, делая их все проще и проще. Однажды я готовил тест по курсу дискретной математики. В одной задаче речь шла о квадрате, разделенном на клетки. Сперва я взял квадрат 10х10. Затем я уменьшил его до 8х8, потом 5х5, потом 3х3, Уменьшать дальше было невозможно, и все-таки некоторые студенты запутались и в этом квадрате 3х3.
К счастью, один из моих студентов, Роберт Тафтс, бывший инженер, жил прежде в Евpoпe и Японии и имел богатый опыт учебы. Для него мой стиль преподавания был привычен, он ему нравился, и он сказал об этом другим студентам. Тогда они окрестили меня «Европейским преподавателем», и это сгладило их недовольство. И все же один студент писал: «Пожалуйста, объясните мистеру Тоому систему оценок и преподавания в ЭТОЙ стране. Мистер Тоом предполагает, что его студентов учили так же, как его самого. В колледже я получал высшие оценки по алгебре и тригонометрии и не вижу смысла получать плохие за этот курс. Пожалуйста, дайте этому человеку по рукам». В следующем семестре я исправился: я брал учебник и объяснял примеры из него. Никто не жаловался. Чем меньше я учил, тем меньше было у меня неприятностей.
Я создал много трудностей и себе самому, и руководству факультета, когда дал студентам список задач, которые сам составил. Я-то хотел дать студентам некоторые дополнительные знания, а они называли эта задачи «экстра-кредитными». Те студенты, которые их решали, претендовали на дополнительные очки, а те, кто их не решали, хотели получить полный балл. В следующем семестре я решил не давать таких задач, и никаких проблем у меня не возникло. Чем меньше я учил, тем меньше у меня было неприятностей.
Методом проб и ошибок мне пришлось выяснить, какая большая часть элементарной математики является на этом курсе табу. Не сразу я понял, что рассказываю об экспоненциальных функциях студентам, которые не знают о геометрической прогрессии. Многие студенты терялись, когда я включал в тесты частично-определенные функции. Другой раз я совершил ошибку, включив в тестовую задачу тригонометрическую функцию. Я не мог и представить, что студенты, изучавшие «калькулюс», не знают тригонометрии, но дело было именно так. Понятно, что меня вызвали к начальству и сделали выговор. Помимо этого, мне позвонил один выпускник юридического факультета и; ссылаясь на решения администрации, обвинил меня в том, что я зря трачу деньги налогоплательщиков, обучая студентов тому, что для них бесполезно. После нескольких случаев такого рода руководство факультета решило не приглашать меня на следующий год, хотя они знали, что я компетентный преподаватель, нуждающийся в постоянной работе. Они не хотели проблем со студентами.
Я заметил, что профессиональные математики относились к курсу «бизнес-калькулюс» примерно как русские к партсобраниям: никто вслух не возражает, но все стараются улизнуть. Поэтому на эту грязную работу приглашают иностранцев, вроде меня. Но иностранцы быстро приспосабливаются к системе, так что американские студенты даже не успевают заметить их неопытности. Мне хватило нескольких месяцев: напор тех студентов, которые хотели получить хорошие оценки, занимаясь как можно меньше, поддержанный руководством университета, заставил меня больше заботиться об отсутствии жалоб, чем об истинных знаниях моих студентов.
Один иностранец, не первый год учивший американцев, советовал мне по-дружески: «Слушай, не лезь на рожон. Образование в этой стране — не наша забота. Никому нет дела, если ты не успеваешь по программе, главное — не высовывайся» (3). И он поехал домой с честно заработанными долларами, так как делал именно то, чего хотели от него американцы – и студенты, и администраторы. Понятно, что в своей стране он преподает иначе.
Оценочная лихорадка
Представьте, что вы летите в самолете. Что для вас важнее: настоящая квалификация пилота или бумага, подтверждающая эту квалификацию? Или, допустим, вы заболели и нуждаетесь в помощи врача. Что для вас важнее: его знания или диплом? Уверен, что знания и умения важнее. Но несколько месяцев назад я столкнулся с большой группой людей, которые думали как раз наоборот: это были мои студенты. Не все, но многие. Они больше беспокоились о том, чтобы получить документы, подтверждающие наличие у них знаний, а не сами знания. Как только я начинал объяснять им что-то, хоть немного выходящее за пределы стандартного курса, они спрашивали с подозрением: «Это будет на тесте». Если я отвечал «нет», они тут же переставали слушать и всячески показывали, что я делаю что-то неподобающее.
Мне пришлось также уразуметь, что американские студенты желают точно знать заранее, какой процент итоговой оценки получается от домашних заданий, какой — от тестов каждого типа. Зачем? Это не секрет: чтобы наиболее эффективно решить проблему «максимина»: максимум оценки при минимуме учебы. Таким образом, оценка становится самоцелью, и ни студенты, ни родители, ни руководство университета не видят в этом ничего плохого. Все чиновники интересуются только официально зарегистрированными результатами.
Основной принцип рынка состоит, в том, что каждый стремится получить как можно больше, а заплатить как можно меньше. Это нормально. Ненормально, что некоторые студенты применяют этот принцип к учебе. Похоже, они считают, что ПОКУПАЮТ оценки и ПЛАТЯТ за них своей учебой. И они стремятся платить как можно меньше! Только по недоразумению они могут изучить что-нибудь «лишнее», и тогда предъявляют преподавателю претензии, как если бы по его вине понесли лишние расходы. И университетских чиновников это вполне устраивает.
Некоторые студенты настолько заняты, подсчитывая баллы в тестах и прикидывая оценки, что у них нет времени думать о математике. Похоже, что ни им, ни руководству университета неважно, учились ли они вообще: главное, что они преодолели еще один барьер в беге с препятствиями, ведущему к выпуску. (И даром потратили еще несколько месяцев из своих юных и самых продуктивных лет).
После каждой контрольной я объяснял правильные решения. Многие студенты говорили: «Теперь понятно». Я радовался: цель моего преподавания достигнута. Но студенты говорили это с сожалением, подразумевавшим: «Это понимание бесполезно, поскольку наступило слишком поздно, чтобы обеспечить мне хорошую оценку». Для меня тесты были средством улучшить понимание, для них понимание было средством улучшить оценку. И многие студенты просто не ходили на разборы: после контрольной им было уже ни к чему понимать что-то.
Хотя мой собственный опыт невелик, я полагаю, что описанная ситуация типична. В другом штате студенты жаловались на преподавателя математики, тоже недавнего выходца из России: «Мы платим столько же, сколько другие, но должны знать больше, чем они, чтобы получить такую же оценку».
Еще в одном штате еще один выходец из России нашел удачный способ успокоить своих студентов; когда, они спрашивали, как он будет ставить оценки, он отвечал, что будет делать это «на кривой». Я спросил, что это значит, и он ответил, что, что не знает. Главное для него было, чтобы студенты успокоились, внимательно слушали лекции и решали задачи. Теперь я знаю, что значит «на кривой», и мне это не нравится, поскольку побуждает студентов воспринимать успехи других как собственную неудачу.
Иногда установка «учиться как можно меньше» бывает оправдана, например, если учебник и учитель совсем плохи, а выбора нет. Но выбор обычно есть, а студенты не могут отличить хороший учебник от плохого. Учеба ради оценок имеет смысл, если студенты полностью разочарованы в преподавателе, если они и не надеются узнать от него что-то стоящее, — вот тогда и только тогда можно учиться ради оценки — чтобы получить хоть это. Но мой опыт показывает, что студенты, которые учатся ради оценок, делают это у любого преподавателя. Они не сознают, что оскорбляют преподавателей, ибо такое поведение для них естественно. Они хотят знать процент оценок еще до знакомства с преподавателем, университетские чиновники воспринимают такое требование гораздо серьезнее, чем содержание учебного курса.
Многим студентам, похоже, просто не приходит в голову, что учение может иметь какую-то другую ценность, помимо оценок. Они учатся долгие годы в начальной, средней и высшей школе, общаются с преподавателями и администраторами, и у них не появляется повода усомниться! Разве что попадется какой-нибудь раздражающий иностранец! Иностранцы, однако, быстро понимают, что выжить здесь может только тот, кто приспособился к системе и не критикует ее. На разных уровнях новоприбывшим дают понять, что страна нуждается в интеллектуалах, но не слишком независимых. Это одна из причин, почему многие иммигранты, бывшие прекрасными преподавателями математики в России, так мало сделали для реформы американского образования. В моем случае, давление со стороны студентов заставило меня отклониться от принципа делать все как можно лучше: мне пришлось думать, как обезопасить себя от жалоб студентов, а не об их подлинных интересах.
На одной из лекций, когда меня спросили, почему я даю задачи, непохожие на те, что в учебнике, я ответил: «Потому, что я хочу, чтобы вы знали элементарную математику». Я считал, что такой ответ достаточен. В Москве студент университета, которому сказали бы, что он не знает элементарной математики, смутился бы и немедленно вник бы в суть дела. Обычно элементарную математику преподают детям, которые и выглядят как дети. Представьте мое изумление, когда после такого ответа большая группа рослых взрослых поднялась и затопала к выходу. Они решили (и правильно), что смогут окончить университет и не зная элементарной математики и что легко найдут преподавателя, который будет учить их по учебнику.
В следующем семестре я больше не пугал студентов обращением к азам. И хотя я прекрасно понимал, что идти вперед без заполнения пробелов в основах — все равно что строить на песке, я не мог позволить себе заботиться о студентах, поскольку должен был заботиться о том, чтобы они на меня не жаловалась. Особенно я смущал студентов, когда пытался объяснить ошибки в учебнике. Многие из них предпочитали брать на веру все, что там написано.
Я изучил Американскую конституцию и не нашел там положения, гарантирующего студентам право на невежество. Однако, многие ведут себя так, как если бы такая гарантия существовала. А многие университетские чиновники ведут себя так, как будто вынуждены с этим мириться. Почему? Один чиновник объяснил мне, что некоторое время назад некоторые студенты судились с университетом из-за оценок и выиграли дело (5). Теперь деканаты заботятся о том, чтобы, больше не иметь таких неприятностей. Способные студенты лишаются возможности узнать больше, но они не жалуются (к сожалению), и чиновники не беспокоятся о них.
Я не предлагаю обвинять во всем студентов. На самом деле их взгляды отражают цинизм тех, кто планирует учебные курсы не ради пользы для студентов, а руководствуясь другими целями: например, поставить еще одно платное препятствие на пути тех, кто хочет учиться в бизнес-школе, или обеспечить занятость преподавателям и т.д. Курс «бизнес-калькулюса» словно специально придуман, чтобы мешать тем, кто хочет обучаться в бизнес-школе.
По отношению к учебе студентов можно поделить на три группы. Одни действительно хотят учиться. Они наиболее разумны, и руководству следовало бы прислушиваться к их мнению, но этого не происходит, поскольку такие студенты никогда не жалуются. Преподаватель может свести свой курс к общеизвестным вещам, прочитать только половину, и никаких неприятностей не будет. Вторая группа — те, кто не знают, чего хотят на самом деле. Они могут и усердно учиться, и тратить время зря — в зависимости от ситуации. А есть студенты, для которых все отношения с университетом сводятся лишь к преодолению еще одного бюрократического препятствия. Все мои попытки заинтересовать их предметом проваливались: я говорил им о математике, а они — о баллах и оценках, которые им надо получить. Вот их-то и слушают чиновники, потому что от них больше всего неприятностей.
Конечно, всегда и везде были ленивые студенты, но на этот раз я увидел нечто иное. Систему обучения определяли не руководители. Я увидел систему обучения, созданную в угоду тем студентам, которые рассматривали ее как сделку, которые вообще не имели духовных ценностей. И это было сделано в ущерб тем (и многим), кто действительно хотел учиться.
Культура и родители
Чтобы исключить непонимание, должен заметить, что я вовсе не считаю, что какие-либо (этнические, социальные и др.) группы учащихся категорически не желают или неспособны учиться. Я вовсе не думаю, что существуют гены интереса, любопытства, внимания, систематической работы, вежливости, уважения. Я хочу лишь подчеркнуть, что предпочтения студентов культурно предопределены. Большинство моих студентов озабочены только вопросами о баллах и оценках. Те, кто спрашивал, как решить задачу (СЕГОДНЯ многие такие — дальневосточного происхождения), делали столько же ошибок, сколько и другие, но они хотели понимать, даже если это не сулило им лучшей оценки. И как раз они и получали лучшие оценки.
Это факт культуры, что некоторые студенты уважают преподавателей и саму идею учения больше, чем другие (которые уважают только деньги). И те, кто уважает учебу, добиваются лучших результатов, насколько допускает система. Некоторые студенты думают: «Я не могу решить эту задачу. Надо поразмыслить или спросить учителя. Я все-таки должен понять». Другие думают: «Я не могу решить эту задачу. Это учитель виноват, что дал такую задачу, которую я не могу решить. Не мое дело в том разбираться. Лучше пожалуюсь в деканат». И что думает студент — это важный культурный фактор.
Не секрет, что одним из важных компонентов культуры является влияние родителей. Известно, что интеллектуальный уровень детей обычно соответствует уровню родителей, но любой разумный исследователь найдет этому много объяснений помимо биологической наследственности. Даже на взрослых учащихся влияют родители. И это влияние огромно, когда ученики — маленькие дети. Некоторые родители добиваются от своего отпрыска хороших оценок всеми средствами, но забывают объяснить ему, что уровень его развития и настоящие знания их тоже волнуют.
Я понимаю, что некоторые студенты — первые в семье, кто получает высшее образование. Их родители всю жизнь занимались однообразной работой, стараясь получить больше денег при меньших усилиях, и были правы. Теперь их отпрыски выполняют однообразные задания в университете, стараясь получить оценки повыше, и работать поменьше, и вся семья считает, что это нормально. Родители будут очень довольны, когда их чадо окончит университет, и будут считать, что теперь в семье есть свой «интеллектуал», но на самом деле — это покупка уцененного диплома на университетской распродаже! И как многое, купленное на распродаже, такой диплом хорошо смотрится, но никуда те годится.
Я прекрасно понимаю, что большинство моих студентов в Москве были детьми интеллектуалов, поскольку в России (и в большинстве стран) гораздо меньший процент молодежи, чем в США, поступает в высшие учебные заведения. По сути, в США идет эксперимент: попытка дать высшее образование тем слоям общества, которые остаются без него в большинстве других стран» И мы должны позаботиться, чтобы это было настоящее образование, а не фикция.
Рынок против скромности
Из истории науки известно, что великие ученые были скромными. Это не было жертвой: чтобы сосредоточиться на новых задачах, нужно отложить в сторону свои прежние достижения. То же относится к способу написания учебника: нужно сосредоточиться на настоящих трудностях предмета и учиться их преодолевать (а не сводить задачу студентов к следованию стандартным правилам). По-настоящему полезные учебники должны быть скромны и должны сосредотачиваться на главном. Но скромность неуместна в мире рынка и рекламы: неизбежны претенциозность и помпа. Поверхностный и трескучий рыночный стиль плохо влияет на образование: выбор курсов, лекций, учебников. В Бостоне мне предложили преподавать компьютерную грамотность, используя книгу, якобы обучавшую БЕЙСИКУ. Но программы там состояли в основном из комментариев и только одна программа включала цикл.
Учебник, по которому я должен был преподавать бизнес-калькулюс, — это объемистая книга, способная произвести впечатление на неспециалистов, например, родителей студентов. Названия ее глав повторяют названия действительно важных математических теорий. Но все нетривиальное из книги заботливо убрано. В каждой главе содержатся рецепты, наподобие кулинарной книги, и задачи сводятся к прямому следованию этим рецептам. Интересы будущих специалистов вовсе не учитываются (4). Материал разных глав не связан, проблемы не представляются с разных сторон, студентам не дается возможность самим выбирать методы решения. И именно этой книге было отдано предпочтение, хотя есть другие, уж во всяком случае, более полезные.
Большинство студентов молоды и незрелы, их предпочтения только формируются. Каждая школа не только преподает определенные предметы, но и создает понимание того, какими должны быть учеба и умственная деятельность. В настоящее время ситуация такова, что итоговая оценка считается главным результатом учебы. Многие студенты недостаточно самостоятельны, чтобы защититься от этого дурного влияния, и получают дутое образование, затратив настоящее время и деньги. Им не хватает достоинства и независимости, чтобы устоять перед общественной системой.
Конечно, многие американские студенты знают, что «бизнес-калькулюс» — лишь бюрократическая фикция, и те, кто действительно хочет учиться, выбирают другие курсы. Но иностранцы выбирают этот курс, наивно полагая, что получат знания и в калькулюсе, и в бизнесе, и зря тратят время. Один из моих студентов, Марк Воон, приехал из Сингапура учиться и набираться опыта. Он настойчиво решал все, которые я давал. К сожалению, это было не бог весть какое достижение, поскольку большинство задач были стандартными: других задач не было в учебнике. Ему нравились задачи, составленные мной, и он не сдавался, пока не решил их все. Но другие студенты жаловались на мои нововведения, и мне пришлось свести свой курс к тривиальностям. Марк своего добился в том смысле, что имел у меня высшую оценку, но он выучил гораздо меньше, чем мог бы, учитывая его прилежание и способности. Он мог и хотел учиться, я хотел учить. Он мог бы стать ученым, если бы посещал мой семинар, но ничего такого не вышло, — так был спланирован курс.
Как американские математики относятся к преподаванию
Первое, что удивило меня, было совершенно иное, чем мое, отношение американских коллег к образованию и преподаванию. Когда я заговаривал с ними об образовании, они отвечали примерно так: «Это не мое дело. Есть специальные люди, чтобы думать об этом», как будто я говорил о чем-то важном, но совершенно постороннем. По моим наблюдениям, большинство американских математиков избегают преподавательской деятельности. Когда, американский математик говорит, что хорошо устроился, обычно имеется в виду, что он не преподает. И когда математику с научными амбициями (обоснованными или нет) приходится преподавать, он нередко старается делать это механически. И студенты считают это в порядке вещей и учатся тоже механически. Преподаватели и студенты «сводят счеты», и преподавание, и изучение математики становится пустой тратой времени в угоду бюрократам. Эта система (как и любая система) прочна: если недавний иммигрант, еще неопытный, оказывается другим, например, ему нравится преподавать, он не вписывается в систему, вызывая лишь проблемы.
Отношение математиков к преподаванию прекрасно соотносится с отношением некоторых студентов к учебе. Некоторых, но не всех. Конечно, мало радости учить тех, кто желает только высоких оценок. Но все-таки в целом студенты не так безнадежны, как считают некоторые преподаватели (5). Конечно, бывают студенты, которые любому отобьют желание преподавать. Но всегда есть студенты, которые действительно хотят учиться, и ради них стоит тратить силы. На каждом из моих курсов были студенты, приходившие в восторг именно от того, на что другие жаловались. Они спрашивали, буду ли я преподавать на следующий год, и советовали опубликовать составленные мной задачи. Мои бывшие студенты приходили поблагодарить меня, они говорили, что после моего курса последующие даются им легко. Не раз мне приходилось говорить студенту: «Вы хорошо справились с моим курсом, и я ставлю вам высшую оценку. Но это не так уж много значит, поскольку то, что я вам преподаю — не настоящая математика».
В целом американцы, очень много внимания уделяют общественным проблемам. Гражданские права, окружающая среда, аборты и многие другие важные вопросы привлекают их внимание, и многие люди готовы тратить время и деньги, чтобы добиться того, что они считают правильным. Многие добровольцы работают санитарами, социальными работниками, пожарными. Возможно, они в детстве мечтали стать пожарными. Конечно, очень мужественно быть пожарным. Однако, образование остается за пределами их внимания и побуждений. Мечтают ли дети стать учителями? Похоже, что в этой стране — нет.
Среди математиков господствует мнение, что настоящее дело — это наука, а преподавание для тех, кто не способен заниматься наукой. Я думаю, что такое мнение опасно и подвергает опасности репутацию науки. Некоторые оправдывают плохое преподавание, говоря: «Раз студенты за это платят, значит, это можно продавать». Но то же самое говорят и торговцы наркотиками. Специалист отвечает за то, чтобы делать свое дело как следует, даже если адвокат не отличит правильного от неправильного. Учитель отвечает за то, чтобы учить так, чтобы ученики действительно учились.
В сущности, моральный уровень тех, кто преподает «бизнес-калькулюс», похож на уровень торгашей колониальных времен, сбывавших дешевые побрякушки и «огненную воду» невежественным туземцам, чью роль теперь выполняют студенты. Представьте, что необразованный человек заболел. Порядочно ли давать ему поддельное лекарство только потому, что он не сумеет отличить его от настоящего? То же с образованием. А вред от поддельного образования очевиден: оно плодит невежд и псевдоинтеллектуалов.
Многие годы советская власть напрасно пыталась не слышать ученых и раздражалась, когда они «совались» в общественные дела. Академик Сахаров — наиболее известный пример прямого вмешательства русского ученого в политику, но я уверен, что преподавательские усилия многих других были не менее важны. В этом смысле свободный американский рынок труда укрощает вольнодумцев гораздо эффективнее, чем любые советские тираны: большинство американских математиков стараются как можно меньше связываться с образованием из-за существующей системы вознаграждений.
Некоторые задачи из элементарной математики
Я люблю начинать курс «введение в калькулюс», предложив студентам проголосовать по следующему вопросу: Возьмем бесконечную десятичную дробь 0,99999… Эта дробь меньше единицы или равна единице? Обычно большинство решает, что дробь меньше единицы. Когда я спрашиваю, насколько меньше, студенты дают разные ответы в зависимости от того, какими калькуляторами они пользуются. Так начинается полезное обсуждение, в котором участвуют все, поскольку чувствуют, что это их действительно касается. Каждый студент пытается доказать, что именно его ответ верный, и это помогает мне убедить их, что все они ошибаются: дробь равна единице.
Вы можете спросить: зачем я начинаю с того, что заставляю студентов принимать неправильное решение, да еще в такой явной форме? Потому что я убежден, что преподаватель должен поддерживать в студентах внимание и критичность к себе. Если бы я просто сказал, что дробь равна единице, они бы охотно согласились, но так бы ничего и не поняли.
Русские студенты были довольны каждый раз, когда мне удавалось заморочить им голову. Даже ребенок понимает, что это педагогический прием для закрепления знаний. Это очевидно: мудрая природа заложила в людей, особенно в молодых, любовь к сомнению (поэтому мы платим фокусникам за то, что они нас обманывают). Хороший студент рад возможности встретиться с чем-либо озадачивающим и толкающим к ошибкам, поскольку это дает ему возможность научиться лучше соображать.
Но американские студенты слишком чувствительны ко всему, что они считают неудачей, даже самой незначительной. Когда мои интонации уводили их в неверном направлении, они воспринимали это как нарушение неких джентльменских правил. Такое впечатление, что некоторые американские студенты не могут позволить себе естественной человеческой любви к интеллектуальным приключениям из-за давления оценок. Если советы преподавателя не ведут их прямо к правильному ответу, они считают это промахом учителя, а не педагогической хитростью. Но как при таком отношении научиться преодолевать интеллектуальные трудности? Некоторые считают, что они должны преуспеть с самого начала, а если не удалось — то это непоправимо. Они считают себя обязанными выдавать правильные ответы со скоростью ковбойской перестрелки в вестернах, а если не могут, то чувствуют себя безнадежными неудачниками и не подозревают о возможности самостоятельного развития.
Официально на каждом курсе требуются регулярные проверки — тесты. Проводя такие тесты, я обнаружил, что можно окончить университет, не научившись решать простейшие, буквально арифметические задачи. Я включил в свой курс задачу, которую решал еще в школе: Том и Дик могут сделать работу за 2 часа. Том и Гарри сделают ту же работу за 3 часа, Дик и Гарри — за 4 часа. Сколько времени понадобится им, чтобы сделать эту работу втроем? Хотя эта задача решается элементарной алгеброй или несколькими арифметическими подсчетами, 6ольшинство моих студентов не могли решить ее. Одна студентка написала следующую систему уравнений: Т + Д = 2, Т + Г = 3, Д + Г = 4, получила плохую оценку и спросила, за что. Я, в свою очередь, спросил, что она имела в виду под Т, Д и Г — время или что-то другое. Она сказала, что имела, в виду просто Тома, Дика и Гарри. Я заметил: «Это безграмотность». Русский студент ухватился бы за возможность узнать что-то новое, но американка восприняла это как полный провал, вышла из аудитории в слезах и перестала посещать мои занятия. Я до сих пор жалею об этом, но что еще я мог сказать? Этот случай типичен в том смысле, что большинство студентов не хотят обсуждать свои ошибки, воспринимая это как ненужное огорчение. Если ты учишься для знаний, ты можешь извлечь пользу из ошибок. Но если ты учишься для оценок, это чистый мазохизм — перебирать в уме упущенные возможности.
Еще одна задача, которую я включал в свой курс: Гекльберри Финну понадобилось 5 дней, чтобы спуститься по течению Миссисипи на пароходе, и 7 дней, чтобы вернуться обратно на том же пароходе. Сколько времени понадобится ему, чтобы спуститься на то же расстояние на плоту? Ответ можно получить вычислением 2/(1/5–1/7)=35 дней. Только немногие решили задачу, хотя у них было много времени и желания получить обещанную за нее оценку.
На последнем занятии моего курса «бизнес-калькулюса» я дал задачу: Когда в магазин привезли 1000 фунтов огурцов, они содержали 99% воды». Пока они лежали непроданными, часть воды испарилась и ее содержание упало до 98%». Сколько теперь весят огурцы? Студенты схватились за калькуляторы, но не знали, что с ними делать. Через некоторое время один дал сложный и неправильный ответ. К этому времени предполагалось, что студенты научены решать дифференциалъные уравнения! Конечно, они не научились! Они лишь научились следовать готовым рецептам, не думая, — блестящее начало карьеры!
Ладно, согласимся, что большинство людей обойдутся без умения решать дифференциальные уравнения. Но зачем же эти студенты тратили время? Весь курс, учебник, изложение были похожи на предназначенные для будущих профессионалов, с одним «незначительным» изменением: использование рецептов вместо решения задач. Но это изменение погубило весь замысел. Итак, студенты потратили зря несколько месяцев, но не научились решать задачи вовсе, поскольку решение задач предполагает способность мыслить продуктивно, то есть порождать идеи, которые не даны заранее. А вот этому-то их и не учили.
Все задачи, приведенные выше, решаются на уровне средней школы. Решение подобных задач и запись решений — полезный опыт формализованного рассуждения, необходимый почти для каждого в современном мире. У всех нормальных подростков хватит ума, чтобы научиться решать такие задачи, и тот, кто решает их в четырнадцать, вполне может изучать «калькулюс» в восемнадцать. Но у большинства моих студентов, похоже, не было такого опыта. Чем же они так долго занимались в школе? Похоже, по большей части они заполняли клеточки, то есть выбирали правильный ответ среди нескольких уже готовых. Такие тесты удобны, поскольку результаты легко обрабатывать. Очевидно, поэтому их так часто и используют. Возможно, такие тесты дают ценные сведения чиновникам от образования, но они очень ограничивают инициативу учеников, не дают им опыта самоорганизации, делают их работу фрагментарной. Если записывать решения, даже неверные, их можно анализировать и научиться чему-то на своих ошибках. Но если просто ставить крестики в клеточках, вы не запомните, почему сделали именно такой выбор, не сможете проанализировать свои ошибки и извлечь из этого пользу. Вы можете лишь надеяться, что ваши условные рефлексы постепенно улучшатся, но вы лишены возможности контролировать этот процесс, как животное в лабиринте. Конечно, лучше поздно, чем никогда, поэтому я дал такие задачи моим студентам. Но, конечно, я дал их немного, поскольку должен был укладываться в программу курса.
О преподавании математики для неспециалистов
Зачем преподавать математику тем, кто не будет профессионально ее применять? Это исключительно важный, но слишком объемный вопрос, чтобы подробно обсуждать его здесь. Надо, по крайней мере, понять, что он не имеет прямого утилитарного ответа. Большинство людей очень мало пользуется математикой в повседневной жизни и работе. Адвокаты, менеджеры, врачи и медсестры, повара и парикмахеры, писатели и художники, политики и чиновники, бизнесмены, торговцы и актеры не решают квадратных уравнений, не пользуются теорией множеств, теорией чисел, аналитической геометрией, не дифференцируют и не интегрируют.
Пожалуйста, не подумайте, что я ПРОТИВ преподавания математики. Я ЗА. Я хочу подчеркнуть, что обучение математике имеет смысл только тогда, когда это обучение учит думать, учит решать задачи (6). И до меня много было сказано в том же духе, например, что в математике «ноу-хау» — это способность решать задачи, и это гораздо важнее, чем просто владение информацией (Георг Пойя, О программе обучения будущих учителей средней школы) . Но многие курсы блещут отсутствием мысли и нетривиальных задач. Многие курсы математики для гуманитарной школы сделаны по правилу: возьми профессиональный курс, сохрани скорлупу и удали ядро. То есть, сохрани видимость, термины, даже некоторые формулировки, но убери все, что заставляет думать.
С первого взгляда может показаться, что этого легко избежать, поскольку в разных учебниках есть много задач, которые, несомненно, гораздо полезнее для студентов, чем «бизнес-калькулюс», которые и не бизнес, и не калькулюс. Но это не так из-за давления рынка. Предположим, что некий автор напишет учебник с задачами, которые требуют умения думать для их решения, и некий колледж построит учебный курс с использованием этого учебника. Студентам придется думать, а не заучивать громкие слова. Колледжу придется объявить, что его студенты просто учатся решать некоторые математические задачи. И какие же родители пошлют туда своего отпрыска? Какая фирма возьмет на работу его выпускников? Чем они будут хвастаться?
Чтобы превзойти конкурентов, каждый университет и колледж должен заявлять, что учит чему-то сверхсовременному и продвинутому. Но возможно ли преподавать продвинутые курсы тем, кто не знает элементарной математики? Конечно, нет. Что же делать? Очень просто! Выброси все нетривиальное, сведи задачу студентов к использованию готовых рецептов без всякой мысли — и ты превзошел и преуспел. Ты сделаешь вид, что учишь чему-то продвинутому — это даст студентам возможность сделать вид, что они действительно образованные, — фирмы и учреждения, берущие их на работу, сделают вид, что они набирают образованных сотрудников. Но однажды это цепочка порвется.
Успехи в чем?
Американская способность осуществлять задуманное вошла, в поговорку. Вопрос в том, что именно осуществлять. Не знаю универсальных средств, но призываю, по крайней мере, увидеть проблему. Многие, похоже, не видят вообще никакой проблемы.
Я пытался понять, что американские политики думают о качестве образования, и пришел к выводу, что они о нем ничего не думают. Например, я слышал, как кандидат в президенты Клинтон говорил, что каждый американец должен получить возможность высшего образования. Это звучит великолепно, пока не заметишь, что Клинтон ничего не сказал о качестве. Нетрудно дать свидетельство об окончании высшей школы каждому, кто попросит. Если бы Клинтон меня услышал, он бы заявил с возмущением, что он имел в виду совсем не то. Но, что именно он имел в виду, неизвестно. Это не значит, что я поддерживаю Буша или другого политика: у них у всех мыслей относительно качества образования не больше, чем у Клинтона.
Когда американцев стараются убедить уделять больше внимания системе образования, их предупреждают: учитесь лучше, а то придет Большой Злой Русский, или Японец, или Европеец и съест вас! Так можно произвести впечатление на политиков. Но это не подействует на тех, кто действительно должен учиться, то есть, на студентов, поскольку лишь внутренняя мотивация (назовем ее просто природным любопытством) порождает созидательный дух, необходимый для действительно успешной учебы.
В творческой деятельности (а учеба принадлежит к ней) достигают успеха лишь те, кто любит свое дело. Когда Ньютон открывал свои законы, он делал это не потому, что он ждал вознаграждения, — он был исключительно любознателен. Знаю, что вы хотите возразить: большинство студентов — не Ньютоны. Но они не родились такими. Весь мой опыт дает мне основания думать, что большинство детей — «Ньютоны», хотя бы по степени любознательности. Природа дает большой простор для развития, и наше дело — строить на нем, обращать природу в культуру, преобразовывать природное любопытство и любовь к загадкам в зрелую любовь к регулярной умственной работе. Только духовная мотивация может обеспечить импульсы, достаточно сильные, чтобы поддерживать интенсивные умственные усилия, необходимые для плодотворного развития.
И мы должны помнить, что интеллектуальный успех не может быть достигнут одним интеллектом: тут требуется вся личность, включая этический и эстетический аспекты. Однажды я написал на доске теорему и сказал студентам: «Смотрите, какая красивая теорема!». Некоторые засмеялись. Я спросил, в чем дело. Один из них объяснил: «Профессор Тоом, ну как может теорема быть красивой!». И я понял, что эти бедняги, всегда учившиеся из-под палки оценок и никогда из естественной любознательности, действительно не в силах представить, как может абстракция быть красивой.
Сейчас многие американцы говорят: мы победили в «холодной войне», но это неверно. Да, советская власть проиграла холодную войну, но это еще не значит, что Америка победила. Советские бюрократы проиграли, потому что жили в бредовом мире «преимуществ советской системы», «советского типа демократии», «строительства коммунизма», «энтузиазма советского народа» и других лозунгов их собственной пропаганды. Недостаток реализма, страх любого независимого суждения, огромная пропасть между реальностью и официальными утверждениями опрокинули советскую власть. Много можно говорить о падении Советов, но я уверен, что забота о бюрократической фикции в ущерб реальности сыграла очень важную роль.
К сожалению, то же можно сказать и о некоторой части американского образования. И среди тех, кто должен учиться, и среди тех, кто должен учить, есть люди, вообще не понимающие, что такое образование. Они возлагают все надежды на бюрократическую форму, а не на сущность культуры. Позвольте повторить, что Америка в этом смысле не одинока. Есть много стран, где средний уровень образования хуже американского (например, Россия). Я не согласен с теми, кто клеймит так называемый «американский практицизм». Я бы прекрасно примирился с реалистичным и разумным практицизмом. К сожалению, то, с чем сталкивался я, — лишь имитация практицизма. Очень непрактично тратить юные годы (и родительские деньги), чтобы получать оценки, ничего не соображая. И совершенно нецелесообразно мешать преподавателю работать в полную силу. Не только ученый, но и инженер, чиновник или бизнесмен мало чего добьется, если не умеет мыслить. Он поживет неплохо под защитой своей сильной и богатой страны, но в благодарность добавит ей проблем, а не решений.
Это верно, что Америкой управляет народ, но не всегда для народа. Люди говорят интеллектуалам: дайте нашему чаду свидетельство об образовании и мы не потерпим дискриминации против невежд! Интеллектуалы не спорят и дают много красивых бумаг. (Конечно, имея дело с собственными детьми, интеллектуалы хорошо объясняют им, в чем состоят их настоящие интересы. Так что дети интеллектуалов никогда не жалуются на преподавателей, которые нарушают их право на невежество.) Все довольны: молодежь получает красивые бумажки, чтобы вставить в рамочку и повесить на стену, родители получают «образованных» детей, ученые возвращаются к своим исследованиям, потратив минимум сил и времени на преподавание. Богатые, умные и образованные люди тоже довольны: они-то дают своим детям НАСТОЯЩЕЕ образование, так что их будущее обеспечено.
А как насчет будущего других? Обеспечено ли оно? Те, кто учится ради оценок, рассчитывают добиться успеха в своем деле. Здесь и сейчас они правы, поскольку сегодня почти каждый американец с дипломом, пусть и невежда, живет лучше, чем гораздо более образованные люди в более бедных странах мира. Человек с дипломом обязательно найдет работу в своей области: так считают все. Но так не может продолжаться долго в ситуации, когда «знания» и диплом тавтологически означают друг друга. Блага, которыми пользуются американцы — это результат настоящих знаний и настоящих усилий предыдущих поколений, чье наследство теперь обесценивается из-за бюрократического характера системы образования. И в один прекрасный день невежды с дипломами и степенями смогут захотеть власти, соответствующей их бумагам, а не реальным знаниям. У нас, русских, есть некий опыт такого рода, и не только у нас.
В Америке активисты невежества пытаются навязывать свою волю университетам и иногда преуспевают в этом. За счет тех, кто действительно хочет учиться. Какая часть американского образования действительно развивает студентов, а какая сводится к претенциозной ерунде, вроде так называемого «бизнес-калькулюса»? Пока я не знаю. И не знаю, кто знает. Я изучаю это на опыте, и учиться понадобится еще долго. Но мне ясно уже сейчас, что в современном мире добьются успеха те страны, которые будут действительно учить своих студентов думать и решать задачи. Я искренне желаю, чтобы Америка оказалась в их числе.
Примечания
(1) Многих мыслителей с интересом читали в нашем клубе. Читая «Штурмы разума» Сеймура Паперта, мы думали: «Если в Америке так заботливо учат мыслить маленьких детей, они должны становиться исключительно знающими студентами». Теперь я вижу, как мы были наивны.
(2) Полное название курса: «Калькулюс II для Бизнеса и Экономики».
(3) Заметьте, что я не забегал вперед; я просто хотел заполнить пробелы в основных знаниях моих студентов. Именно это вызывало неприятности.
(4) Например, в книге есть глава о рядах Тейлора и несколько задач, где требуется разложить данною функцию в ряд Тейлора, но нет задач на свертывание данного ряда. Это то же, что учить разбирать мотор, но не учить его собирать.
(5) Типичная игра (в смысле Берна): «Это профанация — заставлять такого гения как я, тратить мое ценное время на преподавание».
(6) Один небольшой пример успешного решения практической задачи. Однажды моей дочери (ей было I2 лет) понадобился словарь, и мы пошли в книжный магазин. Она выбрала один, но не могла найти, где в нем указано количество слов. Тогда она выбрала страницу, выглядевшую типично, сосчитала количество слов, посмотрела номер последней страницы, округлила оба числа до первой цифры и перемножила в уме. Так за несколько секунд она получила адекватную оценку того, что ей было нужно. Я был восхищен. Это называется «математический здравый смысл». Какой контраст с моими студентами, беспомощными без калькуляторов и подробных указаний, что и в каком порядке делать!
22.09.2004 — Семинар учителей математики ЮАО Москвы с участием А.Л.Тоома
22 сентября 2004 г. в Южном округе столицы состоялся семинар» Школьное математическое образование в России и за рубежом. Традиции и современность».
Профессор Федерального университета Пернамбуко Андрей Леонович Тоом (Бразилия) рассказал собравшимся о своем видении традиций школьного математического образования России, проблем обучения математике во многих странах мира. Была подчеркнута важность сохранения лучших отечественных традиций, основанных на классических методах обучения, нацеленных на развитие мышление ученика. Одним из таких методов является обучение решению текстовых задач. Много интересного и поучительного по проблеме использования текстовых задач, отношения студентов зарубежных университетов к идеям А.Л.Тоома, его способам преподавания вы найдете в его статьях, ссылки на которые приведены ниже. Эти статьи будут напечатаны в газете «Математика» , один из номеров которой со статьей А.Л.Тоома будет распространяться по школам бесплатно.
В кратком сообщении учителя математики школы № 679 г. Москвы А.В.Шевкина Стандарты и федеральные программы по математике обращено внимание на продолжение политики снижения уровня математического образования, которое дает общеобразовательная школа. Эта политика проводится сознательно, ее цель — создание рынка в образовании. Только доведя общеобразовательную школу до нижайшего уровня, «реформаторы» смогут, наконец, решить проблему введения платного (качественного) образования. В федеральных программах нет отличия по содержанию обучения от критикуемых стандартов, но в них есть главное: закрепляется уменьшение числа учебных часов, отводимых на занятия математикой. Сравнение с учебной нагрузкой 1992 г. по начальной школе, с учебной нагрузкой по математике в 1996 г. показывает, что «реформаторы» действительно хотят превратить систему массового школьного образования в систему навязанного невежества.
В своих выступлениях учителя математики Южного округа столицы рассказали о создании системы рабочих тетрадей для обучения математике, о системе личностно-ориентированного обучения математике, об особенностях преподавания математики в классах коррекции.
На семинаре было рассказано о новом направлении работы газеты «Математика» (создание раздела для старшеклассников и абитуриентов), о курсах повышения квалификации учителей математики в МГУ.
14.08.04. Новость для выпускников школы № 679 (1986)
Ребята, Игорь Гершевич Лисенкер «нашелся». Впрочем, он и не «терялся» вовсе, но 15 лет не было от него вестей. А сегодня я вернулся в Москву и обнаружил в электронном ящике порадовавшее меня письмо. Бывший учитель физики школы № 679 г. Москвы теперь проживает в Иерусалиме. Уже 11 лет он готовит сборную Израиля на международную олимпиаду по физике. В своем письме Игорь Гершевич пишет: «…ты делаешь полезное дело не только абстрактно, «для цивилизации», но и конкретно — для меня лично. Я имею в виду ваши учебники для 5-х и 6-х классов, где ты являешься соавтором, а ваш покорный слуга использует их, давая оттуда задачки своему мелкому чаду, чтобы не отупел совершенно. Не знаю, может быть, у вас таких книжек пруд пруди, но к нам … из приличного на фоне общего хлама поступило только это».
Далее письмо очень личное, пересказываю только новости.
1) Смольский Миша с Кричевской Аней, пожив несколько лет в Израиле и родив двоих очень симпатичных деток, переехали в США, видимо, насовсем. Аня защитила докторат по биологии, Миша – по физике, оба там работают по специальности, оба довольны.
2) Игорь Гершевич работал и работает в контакте с бывшими учителями нашей школы: Я.В.Мозгановым (он сейчас на пенсии), М.А. Розенбергом, с некоторыми людьми из 57-ой школы и ещё из разных городов бывшего Союза. Он действительно тренирует сборную Израиля на Международную Олимпиаду по Физике (IPhO). В составе команды из 5 человек он занимается этим достойным делом дольше всех (уже 11 лет). Надеется передать в ближайшее время эту работу подрастающему поколению — своим ученикам
Электронный адрес не вывешиваю, связь через мой «ящик»: av@shevkin.ru.
Ребята! Своего младшенького Игорь Гершевич учит по «Арифметике 5-6» (С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин). Вы понимаете, что я получил медаль на грудь от очень уважаемого мною специалиста. Берите пример со старших, когда будете учить своих деток математике! Выбирайте Никольского!
Всем привет!
А.В.
02.09.2004Вести от И.Г.Лисенкера
Эту фотографию прислал мой бывший коллега, замечательный учитель физики (11 лет тренирует команду Израиля для Международных олимпиад по физике) и просто необыкновенный человек — Игорь Гершевич Лисенкер.
Прекрасно помню его появление в школе. Мы только второй год набирали физматклассы. Наш новый учитель физики принес список ребят, которые не прошли отбор в некоторые известные московские физико-математические школы. Мы пригласили всех, отобрали половину, добавили всего несколько учащихся школы № 679 — и получился незабываемый класс! Мой самый первый физико-математический класс (выпуск 1986 г.).
Игорь Гершевич — это прежде всего физика, это жесткие требования («закон джунглей»), это куча «двоек» до тех пор, пока «объект обучения» не перейдет на следующий уровень понимания изучаемого вопроса (почему-то вспоминается его обращение на «Вы» к ученику, например, так: «Паша, Вы меня утомили!»).
Игорь Гершевич — это чудовищный для «докомпьютерной» эпохи способ подсчета итоговой отметки с учетом «веса» отметок за работы разного вида (диктант, ответ у доски, самостоятельная, контрольная работа). Его опыт я использую уже несколько лет в системе оценивания учебных успехов своих учащихся — с помощью компьютера, разумеется. Электронный журнал учителя описан в газете «Математика».
Игорь Гершевич — это посещение музеев, театров, кино… это походы на природу! Какие люди работали в нашей школе!
На фото И.Г.Лисенкер (справа в нижнем ряду) и вся команда Израиля. Международная олимпиада по физике в Корее.
В гостевой книге появилась запись, которую сделал Максим Педяш (10 А, 1984). В связи с этим возникает естественное предложение и дальше пополнять наш фотоархив, а к юбилеям отдельных выпусков было бы интересно получить краткие истории наших выпускников о своей жизни после школы. Просьба к выпускникам: позвоните одноклассникам, расскажите что-нибудь интересное из своей жизни в школе и после ее окончания. Адрес тот же: av@shevkin.ru .
Дополнение от 13.04.2004 Фотографии из Калифорнии получены (они ниже). А пока письмо от Максима.
Александр Владимирович, cпасибо вам за скорый ответ на мое послание в вашей Гостевой Книге! Посылаю обещанные фотографии нашего класса. Буду рад видеть их в вашем Фотоархиве.
Пару слов о себе: Закончил школу 679 в 1984 г. Поступил на Физфак МГУ… Окончил в 1990 г. и остался работать на кафедре (Низких Температур и Сверхпроводимости)… Так как время было «смутное» и российской науке было туго, то в 1991 г. шеф отправил меня делать PhD в далекую Голландию… Получил PhD degree в 1996 г. и отправился на пост-док в славный Cambridge University (пару лет работал в Кавендишской Лаборатории и Interdisciplinary Research Centre in Superconductivity). В Англии женился на американке («all-californian girl»), так получилось! 🙂 По семейным обстоятельствам в 1998 г. перебрались в Лос Анжелес. Тут судьба моя как физика круто меняется — я серьезно профессионально занялся моим давним увлечением — системным (embedded) программированием. В моем случае тесно связаным с беспроводными (wireless) сетевыми технологиями. Занимаюсь этим по сей день, плавно перетекая из инженерной деятельности в системную архитектуру и все более — в менеджерско-директорскую. Доволен стра-а-ашно, ибо работу свою очень люблю, а так же чуствую себя нужным и «оцененным по достоинству», что тоже немаловажно… 🙂 Такова в двух словах моя жизнь. So far.
Буду благодарен, если вы передадите мой привет и наилучшие пожелания всем, кто меня знает-помнит.
С уважением,
Максим Педяш.
Дополнение от 20.04.04. Ph.D. Doctor of Philosophy — доктор философии.
18.05.2004Первый физматкласс школы № 679, 1984
В этом году исполняется 20 лет выпуска первого физико-математического класса в школе № 679 (1984). Публикуем подборку фотографий, которую по этому случаю прислал нам Максим Педяш (США, Калифорния, на фото с семьей).
По просьбе выпускника нашей школы 1976 года Сергея Павловича (фамилия нам неизвестна) публикуем электронный адрес сильнейшего учителя математики нашей школы за все время ее существования Варшавского Игоря Константиновича: var@com2com.ru. Кто помнит историю школы 20 и более лет назад, походы и туристические слеты, трудовые лагеря и пр., тот обязательно вспомнит и неутомимого их организатора Варшавского И.К. Выпускники и ветераны школы 679, общайтесь на здоровье!
Первые классы с углубленным изучением математики и физики были открыты в школе 679 еще в 1982 г. В самом первом из них математику преподавал Игорь Константинович Варшавский. С тех пор многое изменилось не только в стране, но и в школе.
Свой первый 8-й физико-математический класс (в нынешней нумерации 9-й) я набрал в 1983 г. История набора такова. Наш новый физик Лисенкер Игорь Гершевич достал списки ребят, которые пытались поступить в сильнейшие физматшколы Москвы, но не прошли по конкурсу. Мы обзвонили всех, провели собеседование и взяли половину из них в свой класс.
Какое это было время! Какие это были ребята! Стоит вспомнить Мишу Смольского, Аню Кричевскую, Колю Замарашкина, Арно Кукка, Диму Пудовикова и др. Работали как черти. Некоторые ездили к нам в школу даже с ВДНХ. У меня тогда еще не было опыта работы в спецклассах, что отчасти компенсировалось еженедельной практикой ребят (вместо уроков труда) в научных институтах, где с ними, кроме прочего, решали конкурсные задачи по математике и физике. Поступили хорошо, окончили сильные вузы и … попали в жернова «перестройки». Работы по специальности, дающей средства к существованию, не было. Многие ушли в бизнес, где и остаются по сей день.
Из оставшихся в науке стоит упомянуть самых стойких оловянных солдатиков: Колю Замарашкина и Диму Пудовикова — защитили кандидатские диссертации. Колю звали преподавать в ВМК МГУ, не знаю только — пошел ли. О научных подвигах других ребят моего первого физматкласса сведений не имею. Среди них есть и живущие за границей. Говорят, Игорь Гершевич был замечен как тренер сборной Израиля на международной олимпиаде по физике. Таких людей потеряли!
С тех пор прошло много лет. Из-за работы в АПН СССР (теперь РАО РФ), из-за большой работы над учебниками с физматклассами на постоянной основе я не работал. Иногда доучивал классы ушедших учителей, как сейчас доучиваю 11 А класс, но такие классы, как правило, так и не становились моими.
В последние годы сделал два выпуска — в 2001 и 2003 г.г. С первым работал три года, со вторым — два. Эти классы были слабее самого первого моего выпуска. Год от года снижение уровня математической подготовки ребят, поступающих в физматкласс, все заметнее. Причин тому несколько, но не будем о грустном. Скажем о главном: ребята не готовы как следует трудиться, чтобы восполнить пробелы предыдущего обучения, чтобы успешно осваивать новый материал. Они хотят сидеть на печи, как Емеля, хотят, чтобы их учитель «поступил» их в институт.
Вот свежий пример. Изучаем в 10 А классе метод математической индукции. Внимательно слушаем (или только делаем вид), никак не обнаруживаем, что не понимаем чего-то совсем элементарного, затем «заваливаем» всем классом самостоятельную работу на «2»–»3″.
Разбираем решения почти всех задач на доске. После «разбора полетов» проходит неделя (учитель болел). Кажется, возьми свои проблемы в руки, разберись, подготовься, что не понял — спроси. Не делают этого. Провожу самостоятельную работу повторно. Внимание! Каждый пишет тот же вариант, что и неделю назад. А результат тот же. Лишь единицы улучшили отметки. Некоторые обиделись: из первого варианта на доске было показано больше задач, чем из второго. Ребята без смущения говорят о параллельности треугольников, о том, что прямая МС не пересекает плоскость АВС. Таков теперь уровень ребят, пришедших изучать математику углубленно.
А в прошлом году в школе проводилось анонимное анкетирование учащихся 11 класса. На один из вопросов анкеты учащийся класса с углубленным изучением математики ответил так: «Я математик, буду поступать в МГТУ им. Баумана, поэтому мне легче все объяснить на числах: 60% учителей школы мне нравятся, а 70% — нет». Ни убавить, ни добавить! Или другой пример из прошлого года. Одному ученику на устном экзамене по геометрии и в аттестат я вынужден был поставить «четверку» — единственную четверку в аттестате! А за что? Он запутался на экзамене в простом вопросе: «признаки и свойства», в вопросе, который правильно ставится в голове ученика еще в 8 классе. Ну не уследил я, что этого вопроса мой выпускник не осилил, хотя умел решать довольно трудные конкурсные задачи. Поэтому его «четверка» — урок не только ему, но и мне. Теперь еще глубже перепахиваю планиметрию до начала изучения стереометрии. Не мною замечено: то, что не уложилось в голове в самое подходящее для этого время, с трудом укладывается потом.
Но мы не опускаем руки, мы стараемся мобилизовать ребят на интенсивную учебу, так как понимаем, что упомянутый уровень их подготовки зависит не только от них самих. Мы сделаем все, чтобы ребята почувствовали вкус настоящей учебы, подготовились к поступлению в вуз и оказались готовыми к обучению в нем.
До сих пор нам это удавалось. Выпуски 2001 и 2003 года были очень приличными. Ребята поступили в вузы (почти все) и чувствуют там себя уверенно. Дорогого стоят слова выпускника 2003 года, который говорит, что в своей группе в МГТУ у него лучшие результаты по математике, лучше, чем у его бывших одноклассников, которые прошли не школу 679, а спецшколу при МГТУ.
Мы стараемся не уподобляться спецшколам узкоориентированным на «свой» вуз — таких примеров много. Мы стараемся дать широкое общее образование по математике, физике и другим предметам. Стараюсь преподать математику не «плехановскую», не «бауманскую», а такую, какую знаю и люблю. Теперь преподаю по своим учебникам «Алгебра и начала анализа, 10-11». Мой собственный результат обучения по ним вполне успешный. Надеюсь, что и нынешний 10 А класс сумею привести в чувства, но какая же это тяжкая работа — перебарывать обстоятельства, неготовность учащихся к интенсивной работе. Много решаю с ними красивых задач, провели два тура новой школьной олимпиады — тоже без энтузиазма, а хотелось бы!
Физику у нас преподает Старшинов Борис Сергеевич. Запомнилось, что два года назад после первых уроков в нашем (теперь уже выпущенном) классе он заметил, что давно не видел так много ребят, которым что-то нужно. Борис Сергеевич преподаватель академии им. Петра Великого, полковник, кандидат технических наук, старший научный сотрудник. Имеет более ста научных работ и изобретений, среди них «Инженерный справочник по космической технике». Он награжден медалью им. академика Янгеля за успехи в развитии ракетно-космических систем. Нас радует, что Борис Сергеевич находит время для работы в нашей школе, что он умеет заинтересовать ребят своим предметом. Я уверен: у нас получится!
По окончании девятого класса, а это было в 1999 году, я решил перейти в физматкласс, и так как в той школе, в которой я тогда учился, такового не было, то мне пришлось сменить еще и школу. Основным побуждением к данным действием служил прежде всего мой интерес к профилирующим предметам физматкласса — физике и математике. При поступлении в физматкласс я не держал такой цели, как получить подготовку для поступления в ВУЗ, хотя в дальнейшем образование, полученное мной в физматклассе, дало мне возможность сдать вступительные экзамены без нервов, подготовительных курсов и репетиторов. Но обо всем по порядку.
После продолжительного и скрупулезного ознакомления с перечнем школ Москвы мой выбор пал на школу № 679. Физматкласс в этой школе существовал уже не один год, школа поддерживала отношения с некоторыми вузами, и к тому же данный класс в школе имел статус лицейского. Выбор был очевиден. Многие спросят: «зачем нужно идти в физматкласс, ведь и обычного среднего образования вполне достаточно для поступления в вуз?». Отвечу: «это не так».
Среднее образование дает именно средний уровень знаний (коего многим хватает), а при поступлении куда-либо есть конкурс, с помощью которого как раз и отбирают людей, превосходящих этот средний уровень. Это вовсе не означает, что обычное среднее образование без профилирующих предметов предоставляет недостаточный объем знаний — здесь надо воздать должное нашей системе обучения, которая устроена так, что ученик, окончивший школу, уже обладает достаточно большим спектром знаний и, в большинстве случаев, способен к самообучению, а это главное. И вот именно последнему физматкласс учит отлично, т.к. углубленное изучение предметов сильно увеличивает обьем программы, а обучение пусть проводится и с использованием дополнительных часов, но все за те же два года, что и в обычных старших классах. Физматкласс не изменяет общеобразовательной программы, а разумно дополняет ее.
Преимущества, по-моему, очевидны, но для примера могу сказать, что если бы не углубленное изучение физики и математики (начал анализа), то на первых курсах института с вышеозначенными предметами, которые читаются в любом техническом вузе, возникли бы кое-какие проблемы. Попав в институте к одному из самых «интересных» (по результатам интернет-опросов) преподавателей по физике в Москве, я имел твердую «четверку», а дипломный экзамен сдал на «пять». Математика вообще нужна всегда и везде. Являясь на данный момент студентом 3 курса, я могу перечислить все предметы, с которыми мне пришлось столкнуться за период обучения. Они требуют хорошего знания математики. Вот их список: математический анализ, аналитическая геометрия, общая физика, теория вероятностей и методы математической статистики, исследование операций и методы оптимизации и т.д. Я не утверждаю, что я прошел за два года в школе все то, что прошел в институте. Ни в коем случае! Я утверждаю, что образование, полученное в физматклассе, является огромным подспорьем для дальнейшего обучения в вузе.
Помещая у нас интересную статью из газеты «Первое сентября», 2003, № 46, мы хотим дать вам пищу для размышлений о судьбе массовых физико-математических классов.
Прошу прощения за мрачную картину. Идет дождь, светит солнышко, где-то растет пшеничка, и будем надеяться, что большая-пребольшая, а к нам, на поля аэрации, стекает то, что вырабатывает город. Мы — это Физико-математическая школа при нашем pодном вузе (он не будет назван, чтобы нас не разорвали на части те, кто сочтет это рекламой, а равно и те, кто сочтет это антирекламой). От подготовительных отделений мы отличаемся тем, что занятия у нас для школьников бесплатны. Еще несколько лет назад ситуация была такой: большинство школьников приходили к нам ради увеличения шансов на поступление, причем они и их родители понимали, что для этого надо получить знания и научиться ими пользоваться. Ибо формальная льгота, которую мы им даем, весьма невелика (одно бесплатное тестирование). Так что мысль о каком-то скрытом содействии при поступлении в нашем случае не возникает. Обратите внимание: мы не касаемся вопроса, есть это содействие или его нет. Это вопрос не к нам, а к следователю и прокурору. Мы — по другому ведомству: мы учим.
В течение многих лет у нас в группах были ученики и послабее, и посильнее, кто-то учился нормально, а кто-то еле-еле, зубами и когтями выгрызал свою тройку, кончал нашу школу и поступал, а кто-то бывал отчислен. Мы, к сожалению, не приносим вузу дохода в рублях, поэтому должны приносить хороших абитуриентов. Иначе ректор нас закроет и будет совершенно прав.
Некоторые из наших преподавателей время от времени вели занятия и на платных подготовительных курсах (других вузов). Приходили они оттуда с выпученными глазами: школьники не работают! Просто сидят и смотрят на «препода». На призыв взять ручку в руку и начать что-то делать посылают враждебные взгляды. Без прибора ночного видения можно прочесть: «Ты чо! Я заплатил и еще пришел!..» Десять и пять лет назад это нас поражало. Но несколько лет назад мы вдруг увидели это у себя в школе. Разумеется, на платные подготовительные курсы и отделения народ идет не только потому, что надеется «заплатить и поступить». Идут туда те, кто не может сдать экзамен к нам в школу, ведь у нас есть свой конкурс. Зато в вуз или, точнее, в разные вузы почти все наши выпускники поступают. Разумеется, то, что мы «поставляем» абитуриентов не только своему родному гнезду, вызывает некоторое недовольство ректора. Но с другой стороны, можно ведь гордиться тем, что большинство из «отступников» идут в престижные университеты и лишь самые слабые, которые не набирают баллов в нашем вузе, поступают в менее требовательные. Практика показала, что запаса знаний и умения учиться, которое нам удается им привить, хватает не только на то, чтобы поступить, но и на то, чтобы не вылететь из вуза сразу.
Обратите внимание: мы ни слова не сказали об уровне знаний приходящих в нашу школу. О том, что старшеклассники, складывая 1/2 с 1/3, получают 1/5. О том, что не могут решить уравнение 2х = 0 и уравнение x2 = 0. Мы можем привести десять страниц таких примеров. И это не сайт анекдотов, это — жизнь.
Речь пойдет о другом: о бытующем у школьников представлении — надо или не надо учиться. Появление в нашей школе два-три года назад заметной доли тех, кому «не надо», и ее стремительный рост (до 50-90 % на разных предметах сегодня) стали шокирующей неожиданностью для педагогов нашей школы. Но те из нас, кто преподает и в ФМШ, и в обычной школе, совершенно этому не удивились. Все эти годы происходил рост доли тех, кому «не надо», в обычной школе, и вот теперь уровень воды дошел до рта.
Нам кажется, что важная черта современной российской школы — то, что в ней большинству ничего не надо. Мы судим в основном по Москве, возможно, что в остальной России ситуация иная: школьникам «надо», потому что иначе им не светит ничего, кроме коровника, половой тряпки, армии, станка, в лучшем случае — автосервиса… Этого мы не знаем и, если ошибаемся в оценке ситуации, будем крайне рады.
Учеба — это труд. Но с каждым годом это все меньше понимают и ученики, и родители. Каково нам слышать от родителей фразы типа: «Почему вы его (ее) отчисляете, ведь он (она) ходил(а) на все занятия?» — произносимые с более чем искренним удивлением. Выросло новое поколение родителей, которые не понимают, что посещение школы еще не означает работы по получению знаний.
Чтобы понять, почему стало не надо учиться, обратимся к истории. Раньше «надо» обеспечивалось: а) репрессивной системой; б) зависимостью от образования если не дохода и перспектив, то хотя бы возможности получения чистой работы и отчасти престижа; в) стремлением удовлетворить свои потребности в информации; г) возможностью откосить от армии. Сейчас первый фактор исчез, а остальные ослабли. Так чего вы ждали? К усилению фактора «а» призывать глупо, фактор «г» или не изменится, или ослабнет (при переходе к контрактному набору или при превышении затрат на высшее образование над стоимостью откоса). Действие фактора «в» только уменьшается, ибо на каждого сегодня выливается столько информации, что мозг прибегает, как говорят электрики, к «защитному отключению». Ситуация «в одно ухо влетело — в другое вылетело» становится нормальной, и у школьника на наших глазах формируется устойчивая привычка к игнорированию информации.
Впрочем, в развитых странах диплом вуза весьма важен при трудоустройстве (фактор «б»), но чтобы эта зависимость стала жесткой в нашей стране, нужно не одно поколение… К примеру, aмeриканская школа построена так, что в ней можно не учиться. Конечно, в престижной и дорогой физиkо-математической школе, в которую поступают со всего штата, сдав экзамен и выдержав конкурс (внимание: деньги не заменяют экзамена!), нет тех, кто не хочет учиться. Но в обычной, в том числе и в хорошей, школе таких полно. Сидишь тихо, соблюдаешь правила — ну и сиди. Не сдашь в итоге тест — плохо, школа будет хуже выглядеть, в нее будут меньше хотеть поступать (все данные общедоступны). Поэтому школа старается, чтобы учиться хотели. Но заставить хотеть нельзя, можно лишь заставить соблюдать правила. И если американская школа такова, это означает, что американскому обществу нужно именно столько преуспевающих адвокатов и мальчиков на бензозаправке. Сделают электромобиль — школа через какое-то время отреагирует. (Кстати, заметим, что в последние годы уровень наркомании у американцев падает, количество СПИДа падает, уличная преступность падает и уже стала меньше (пока чуть-чуть меньше), чем во Франции. То есть с важными для общества задачами их школа отчасти справляется.)
Похоже, что России сегодня нужно не так много математиков, физиков и преуспевающих адвокатов, как нам кажется. Ушлые школьники чуют это нутром и «не хотят». А наши вопли о том, что, ситуация завтра изменится, они пропускают мимо ушей и правильно делают, так как ситуация изменится не завтра. Она будет изменяться медленно, и на основные изменения потребуется несколько поколений при условии, что Россия вообще пойдет по пути индустриального развития, требующего больших интеллектуальных ресурсов. А это вообще пока совсем не очевидно.
Что можно сделать сегодня, чтобы, просим прощения за цинизм, было не противно входить в класс? Понять, что ситуация, когда большинству «не надо», — неизбежна. Неизбежна во всемирном масштабе, и тем более неизбежна сегодня в России.
Ликвидировать школу вообще нельзя. Еще Маркс сказал, что главное достояние человечества свободное время. Гуманизм требует ликвидировать детский труд, а детей надо куда-то девать. «Кто открывает школы, тот закрывает тюрьмы» — это сказал еще Виктор Гюго.
Но чтобы посчитать налоги, не требуется знать, что такое логарифм. А ничего другого большинство считать и не будет. Система образования должна быть построена так, чтобы было очевидно: то, чему учат, потребуется. Сегодня больше половины школьников на вопрос: «Что тебе интересно, чем ты хочешь заниматься?» — ответят: «Компьютер». И добросовестные родители сделают все, чтобы чадо поступило в технический вуз на компьютерную специальность. От этих «заинтересованных компьютером» стонут вузы, ибо мало кто из них осознает, что игры в компьютерные игрушки и лазание по Интернету — не специальность. Для того чтобы стать господином компьютера, а не его рабом, необходимы не скорость тыкания в клавиши (этому и обезьяну научить можно; но биологи говорят, что самый быстрый зверек выдра), а серьезные знания и способности к математике и информатике, причем вовсе не к тому, что называют информатикой в школе. Когда школьники осознают, что в вузе не в игрушки играют, они удивляются. Когда же оказывается, что для того, чтобы написать самую простую компьютерную игрушку, нужно очень многому научиться, причем не самому интересному, с их точки зрения, они вообще теряют интерес к учебе.
В лучшем случае их природных способностей, поддержанных насилием со стороны несчастных родителей, хватает, чтобы дотянуть до диплома. На выходе — хороший пользователь с дипломом о высшем образовании. Пока рынок труда еще не насыщен хорошими пользователями, и они находят себе применение, но, как правило, не по специальности. А что будет через два-три года? В худшем же случае они просто вылетают из вуза, как правило, после первого семестра. Как отделить тех, которые «интересуются компьютером», от тех, кому это действительно «надо»?
И последнее. Некоторое время назад в прессе промелькнуло сообщение, что получены прямые данные о соотношении результатов тестирования и обычного экзамена по математике. Как вы думаете, сколько организаций и частных лиц обратились в редакцию или к авторам той информации за данными? Оказывается, ни одного. Если нам ничего не надо, то с какой стати будет что-то надо нашим ученикам?
