Не спешите применять производную — 3
Рассмотрим задачу конкурсного экзамена 2002 года в МГИЭТ (Московский государственный институт электронной техники – технический университет).
В два сосуда налиты различные растворы соли, причем в первый сосуд налито 5 кг, а во второй —
20 кг. при испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах p и q известно только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?
По условию задачи pq = 9, поэтому q = 9/p. Так как масса соли в первом сосуде осталась прежней, то если процентное содержание соли в нем увеличилось в p раз, то масса раствора уменьшилась в p раз. Аналогично масса раствора во втором сосуде уменьшилась в q раз. Тогда всего испарилось
5 + 20 – 5/p – 20/q = 25 – 5/p – 20p/9 кг воды.
Здесь с помощью производной нетрудно найти значение p, при котором функция f (p) = 25 – 5/p – 20p/9 достигает наибольшего значения. Не будем торопиться с применением производной. Заметим, что
25 – 5/p – 20p/9 = 25 – (5/p + 20p/9) = 25 – 10/3*(3/2p + 2p/3).
Теперь очевидно, что масса испарившейся воды будет наибольшей, если сумма 3/2p + 2p/3 будет наименьшей. Известно неравенство a + 1/a > 2 для положительных чисел, в котором равенство достигается при a = 1. Из истинности этого неравенства следует, что 3/2p + 2p/3 > 2 (здесь 3/2p > 0, так как p > 0), причем равенство достигается при 3/2p = 1 (при p = 3/2).
Следовательно, наибольшая масса воды, которая могла испариться из обоих сосудов вместе, равна
25 – 10/3 * 2 = 18 1/3 кг