Подготовка к ЕГЭ

Ю.О. Пукас. Решение задачи С18 из диагностической работы (12.2008) МИОО

Пукас Ю. О., гимназия г. Троицка

С18. При каких натуральных n существует рациональное число x, удовлетворяющее равенству

                              n2 + 2 = (2n – 1)x?                                                                (1)

Решение. 1. Из того, что при всех n: (n2 + 2) > (2n – 1), следует, что искомое число x = k/m больше единицы: k > m.

  1. Для чисел, удовлетворяющих условию задачи, равенство (n2 + 2)m = (2n – 1)kопределяет натуральное число, единственным образом разлагаемое на простые множители. Это значит, что в разложении на простые множители числа (2n – 1) присутствуют все простые множители числа (n2 + 2), но в меньших степенях. Это значит, что (n2 + 2) делится на (2n – 1).
  2. Следовательно, n2 + 2 = d(2n – 1), где d — натуральное число. Рассмотрим квадратное уравнение относительно n:

                                 n2 – 2dn + (d + 2) = 0.                                                                (2)

Его дискриминант, деленный на 4, должен быть квадратом натурального числа, которое обозначим j. То есть j2 = d2d – 2 = (d – 2)(d + 1). Так как j = 0 лишь при d = 2 (d — натуральное число), то уравнение (2) имеет единственный корень n = 2, для которого исходное уравнение (1) не имеет рационального корня.

Тогда (dj)(d + j) = d + 2. Но j = 1 не дает нам натурального d и, следовательно, натурального n. При j = 2 имеем d = 3, откуда находим, что n = 5, x = 3/(при n = 1 исходное уравнение не имеет корней).

Если j > 2, то левая часть равенства (dj)(d + j) = d + 2 больше правой, так как
d + j > d + 2, и не забудем, что dj должно быть натуральным числом. То есть для
j > 2 равенство (dj)(d + j) = d + 2 невозможно.

Итак, лишь при n = 5 исходное уравнение имеет рациональный корень.

Ответ. При n = 5.

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2017 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал