Новости

Запоздалый спор с А.Я. Хинчиным о текстовых задачах

Только я разместил последнюю заметку Учите детей решать задачи арифметическими способами, как очень квалифицированный читатель моих материалов, не раз замечавший мои промахи, прислал «кислый» отклик, суть которого можно выразить так.

До использования уравнений учащимся предлагаются легкие или очень легкие задачи. Задачи, где можно было бы подумать и что-то придумать, почти не применяются. Затем насаждаются уравнения, даются задачи чуть сложнее, чем раньше, но их, можно решить и без уравнений. Однако навыка что-то придумывать, который мог бы сформироваться в начальной школе, нет. Очевидные идеи или менее очевидные приёмы при решении задач арифметически средний ученик не успеет придумать, их ему сообщит учитель, заставит запомнить и выучить и даст много упражнений на отработку приёма. Такая практика не дает ровно ничего для развития мышления, и ничем не лучше бездумного использования уравнений там, где можно легко обойтись без них.

И не возразишь, так как описана неправильная, с моей точки зрения, методика обучения решению задач. Дальше мой критик сослался на известную статью:

А. Я. Хинчин, О так называемых “задачах на соображение” в курсе арифметики, Матем. просв., 1961, выпуск 6, 29–36. mp677.pdf

Статья мне знакома, так как в конце 80-х годов я собирался писать кандидатскую диссертацию по методике обучения детей решению текстовых задач и проработал всю доступную литературу. Потом тему диссертации пришлось сменить, а наработанные материалы легли в основу упомянутой в предыдущей публикации книге «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах». Предложения возникли в процессе разработки системы упражнений для «Арифметики» С.М. Никольского и др. (1988). Основная мысль моих предложений: опираться на лучшее в традиционной методике, совершенствовать её, не торопясь насаждать уравнения. Работать над развитием мышления и речи детей — основного «инструмента» дальнейшего обучения. Без ложной скромности заявляю: это удалось. Могу подробно обосновать, но стоит ли пересказывать содержание моих книг?

Теперь, что касается критики А.Я. Хинчина. Он почему-то не ругал задачи «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на движение, на движение по реке, на дроби, на совместную работу, на деление числа в данном отношении, на пропорции, на проценты, на смеси и сплавы — классические типовые задачи, работа с которыми без уравнений позволяет добиваться хороших результатов в развитии мышления и речи детей, их сообразительности.

Он взял две задачи. Первую решил двумя сложными способами, которые в школе не применяли, а вторая, по сути, алгебраическая задача. И уж точно никто не ставил целью научить каждого ученика решать вторую задачу. Давайте обсудим задачи из статьи А.Я. Хинчина. Напомню: речь идёт о 5-6 классах в современной нумерации классов.

В сноске указано, что известная составительница сборника задач и упражнений по арифметике Елизавета Савельевна Березанская (1890-1969) возразила, приведя стандартное решение, которое применил бы любой учитель математики. Запишем его так, как мы оформляем решения задач в своих учебниках.

Отношение возрастов отца и сына равно 3/2 : 2/3 = 9 : 4. Пусть возраст отца составляет 9 частей и возраст сына 4 части.
1) 9 – 4 = 5 (частей) — приходится на 25 лет;
2) 25 : 5 = 5 (лет) — приходится на 1 часть;
3) 5 · 9 = 45 (лет) возраст отца;
4) 5 · 2 = 20 (лет) возраст сына.

То ли по незнанию школьной практики, то ли с манипулятивной целью Александр Яковлевич выбирает не лучший алгебраический приём. Зачем нужна система уравнений, которую школьники не изучали, когда можно обойтись «малой кровью», обозначив возрасты сына и отца соответственно и + 25 лет? Зачем нужен не лучший арифметический приём, который почему-то Александру Яковлевичу кажется более простым? Ведь судить о простоте приёма надо с участием тех, кому он предназначен, а детей никто не спросил. Вот ещё одна задача, подвергнутая критике в его статье.

Так она и вовсе не арифметическая, так как её арифметическое решение, приведённое критиком, настолько противоестественное для детского мышления, что тут и спорить не о чём. Но и алгебраическое решение никуда не годится. Мы специально учим детей решению задач «обратным ходом» с 5 класса, развиваем их сообразительность. Применим этот приём.

Пусть в результате трёх действий получились три равных числа x, тогда до этих действий мы имели числа – 0,5, + 1,5 и x : 2,5 = 0,4x.
Сумма этих чисел равна 22. Составим уравнение:
– 0,5 + x + 1,5 + 0,4= 22,
решив которое, получим, что = 8,75.
Первое, второе и третье числа равны соответственно
8,75 – 0,5 = 8,25; 8,75 + 1,5 = 10,25; 8,75 · 0,4 = 3,5.

Таким образом, А.Я. Хинчин привёл примеры совсем не традиционных арифметических задач и раскритиковал свои неудачные способы их решения, а выводы сделал вселенских масштабов. На его выводы опирались другие математики, тоже мало понимавшие в школьном обучении.

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии», и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы «на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса».

Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.

Текстовые задачи в школьном курсе математики (лекция 1)

А дальше пошло-поехало: в реформу конца 60-х годов из школьной практики исключили почти все перечисленные в начале статьи арифметические способы решения текстовых задач. И получили результат — родителей во втором-третьем поколении после реформы, не умеющих решать то, что «двоечники» умели решать до реформы. Вот пример из моей переписки в гостевой книге сайта www.shevkin.ru.

Елена, Москва. Скажите, пжта, где найти ответы и метод.рекомендации к каждому из упражнений Рабочей тетради Математика 5 класс, М.К. Потапов А.В. Шевкин… В разделе «Книги» не нашла. Мама ученицы 5 класса.

А.В. Ответы может найти каждый ученик самостоятельно. Если вдруг есть «непреодолимые» задания, то напишите мне на почту avshevkin@mail.ru. попробую помочь в поиске решения.
01:10, 24.09.2014

Елена, Москва. …каждый ученик школы с углубл. изучением математики – может быть. Но мы не в спецшколе. А Вы просчитывали какое количество учеников школ Москвы, перешедших на Вашу программу, останется без базовых знаний с учетом такого показателя как бестолковыеленивыеуставшие учителя, которые не умеют и/или не хотят увлечь наших детей математикой? Ваши слова про каждого ученика настолько оторваны от реальности… Может все-таки в качестве компенсации напишите для нас, родителей, объяснения и решения к упражнениям, задачам? уроки-то мы с ними делаем… Пишу после бессонной ночи, телефонных переговоров между родителями почти целого 5 класса. Решали задачи и придумывали как их изобразить схематично с № 61 по № 65 Рабочей тетради. Не придумали. А многие родители и не смогли сами решить. Да мы еще и после Петерсон.

А.В. 61. Разность двух чисел на 23 меньше первого из них. Найдите второе число.
Решение. Переформулируем вопрос: на сколько уменьшили первое число, если при вычитании получили ответ на 23 меньше первого числа (уменьшаемого)? Ответ: на 23, то есть второе число 23. Примеры: 33 – 23 = 10, 45 – 23 = 22, … (уменьшаемое и разность определить нельзя, но это и не требуется).

62. Разность двух чисел на 50 меньше первого числа и на 20 меньше второго. Найдите числа и разность.
Решение. Первое число уменьшили на 50, значит, второе число 50. Разность на 20 меньше второго числа, то есть разность равна 50 – 20 = 30. Первое число (уменьшаемое) найдём сложением: 30 + 50 = 80. Мы нашли все числа: 80 – 50 = 30.
Дальше попробуйте сами, только спокойнее, без обиды на учителей и мой отрыв от реальности? …. Спасибо за вопрос и желаю успехов.
22:35, 24.09.2014

Елена, Москва. Как же просто!!!! А мы с уравнениями, да еще с двумя неизвестными… нарешали… как объяснить детям, чтобы их окончательно не запутать, голову ломали. Спасибо…

До сих пор в школе изучают только один способ решения всевозможных задач, который дети усваивают с большим трудом. Однажды моя коллега рассказала, как её попросил ученик: Научите нас, пожалуйста, решать задачи «На пусть». На мой взгляд, ребенок гениально выразил свою проблему: задачи разные, но все решения начинаются с «Пусть — …», а что делать дальше, он не знает — в разных задачах надо действовать по-разному, а как, он не знает.

Приведу несколько примеров, показывающих, что такое арифметические способы решения и какие результаты даёт методика, реализованная в упомянутых учебниках и книгах. В учебнике мы различаем несколько типовых задач, к решению которым подходим по-разному. Это задачи, связанные с арифметическими действиями, задачи «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и разности, на движение по реке, на движение, на совместную работу, на деление числа в данном отношении, на пропорции, на проценты и др.

Рассмотрим типовую задачу из учебника для 5 класса на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

1. В двух пачках 70 тетрадей — в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Эту задачу я обсуждал как-то с учащимися начальной школы в Черноголовке в конце 80-х. Так дети сразу предложили убрать излишек (10 тетрадей). Итак, уберём 10 тетрадей из первой пачки, тетрадей в пачках станет поровну, по (70 – 10) : 2 = 30. Теперь вернём в первую пачку 10 тетрадей, в ней станет 30 + 10 = 40 (тетр.).

1) 70 – 10 = 60 (тетр.) — удвоенное число тетрадей во второй пачке,
2) 60 : 2 = 30 (тетр.) — во второй пачке,
3) 30 + 10 = 40 (тетр.) — в первой пачке.

2. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона . Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Представим, что некто раздавал сначала по 2 динария и у него осталось 3 динария. Если бы у него было на 8 динариев больше, то 11 динариев он распределил бы между всеми бедными, дав каждому ещё по 1 динарию. То есть бедных было 11.

Запишем это решение по действиям.
1) 3 + 8 = 11 (динариев) — можно раздать сверх выданных двух динариев, если будет ещё 8 динариев.
2) 3 – 2 = 1 (динарий) — можно дать каждому сверх двух динариев.
3) 11 : 1 = 11 (бедных) — было.

Возьмём старинную китайскую задачу с «круглыми» числовыми данными:

3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего у них 30 голов и 70 ног. Определите число фазанов и число кроликов.

Можно составить уравнение 4+ 2(30 – ) = 70, где — число кроликов, и получить ответ задачи. Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа, но и с целью развития их мышления и речи в процессе работы с нею, если нам небезразличен эмоциональный фон обучения, то полезно провести диалог, найденный мною у старых мастеров методики обучения математике и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи.

— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
— 60 (30 · 2 = 60).
— Но в условии задачи даны 70 ног, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
— Сколько их?
— 10 (70 – 60 = 10).
— Сколько же кроликов?
— 5 (10 : 2 = 5).
— А фазанов?
— 25 (30 – 5 = 25).

Есть и другой вариант рассуждения: сначала запустить в клетку 30 фазанов, потом заменять их на подходящее количество кроликов.

4. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, какой цены тот кафтан был.

Здесь можно составить уравнение (+ 12) : 12 · 5 = + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса Андреева Аня (школа 679, Москва) предложила вычислить стоимость одного месяца работы проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за неотработанные 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за 1 месяц ему платили 7 : 5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7 · 1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

Завершая мой заочный спор с Александром Яковлевичем Хинчиным (1894-1959), должен отметить, что он шёл не в сферах математики, а на чужом для него поле — в методике преподавания математики школьникам 11-13 лет, где у Александра Яковлевича, очевидно, не было никакого опыта. Почему тогда никто не осмелился решительно ему возразить — тайна сия покрыта мраком. Неужели только потому, что при организации Академии педагогических наук РСФСР он был избран академиком? А без этой его статьи и статей его последователей наше школьное математическое образование могло бы развиваться без лишних «революций».

Всё-таки каждым делом должны заниматься профессионалы в этом деле!

Дополнение от 17.03.2021. Внимательный читатель из Санкт-Петербурга обратил моё внимание на то, что И.Ньютон решал свою задачу про раздачу денег уравнением. Так я и не утверждал обратного. Да и книга в переводе на русский язык называлась Всеобщая арифметика, или Книга об арифметических синтезе и анализе, Ньютон И., 1948.

Отмечу, что в российском математическом образовании добивались наибольших успехов в обучении школьников в те периоды, когда обучение решению задач начинали не с алгебраических, а с арифметических способов решения задач. Эти способы развивали мышление и речь школьников, готовили их к работе с алгебраическими абстракциями. Разумеется, были и другие факторы социального характера…

Вот как выглядит задача о раздаче денег у И.Ньютона.

У нас, скорее всего, посчитали бы сумму денег двумя способами и приравняли результаты: 3x – 8 = 2x + 3.

Арифметическое решение меня привлекло возможностью дать пример переформулировки задачи (раздача денег в другом порядке), что даёт простое арифметическое решение. Не думаю, что И.Ньютон осудил бы моё решение, а переформулировка помогает решать задачи, которые иначе решаются много труднее. Приведу любимый пример.

5. От пола комнаты одновременно вертикально вверх по стене поползли две мухи. Поднявшись до потолка, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое быстрее первой, но зато спускалась вдвое медленнее. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Переформулируем условия задачи так, чтобы ответ не изменился. Пусть вторая муха сначала поднималась вдвое медленнее первой, а потом спускалась вдвое быстрее. Общее время движения второй мухи от этой переформулировки не изменится. Тогда пока вторая муха медленно поднимется до потолка, первая муха проделает путь туда и обратно, то есть финиширует первой.

Другие способы решения задачи и развитие темы см. Переформулировка задачи

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2019 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал