Выход из ада непонимания
Прошу не пугаться. Ничего страшного и адского здесь не будет. Просто в дискуссии на Яндекс.Дзене Александра (видимо, учительница) написала:
На ад в седьмом классе нельзя не откликнуться. Только надо разобраться, где же и в чём именно заключается этот ад. А теперь всё по порядку. На странице https://zen.yandex.ru/media/shevkin/rosobrnadzor-i-fipi—ne-v-teme-5e77aa65765edb010f1ef345 я затеял обсуждение качества подготовки материалов для проведения ВПР. Не возражая мне по существу обсуждаемой проблемы, упомянутая Александра вдруг атаковала меня:
Я ответил: Александра, наш учебник уже может выбирать, кому нравиться. Думающие люди его любят и хвалят, непрофессионалы недопонимают. Не знаю, к каким Вы относитесь… Вот отклик думающей мамы. Не уверен, что Вы её переубедите…
В моей коллекции есть отклик ещё одной мамы:
Здесь мы видим противоположное движение: поиск настоящей математики в наших учебниках.
Дальше по ветке обсуждения я объясняю Александре в чём отличие учебников, употребляя наглядный образ «дырявая ось», принадлежащий академику РАН С.М. Никольскому — главному автору наших учебников. Я никогда не утверждал, что «дырявая ось» была проблемой для семиклассников. Скажу больше: и для большинства учителей — в силу привычки обучать учеников в известном с детства порядке.
Дальше я написал: «Александра, в 7 классе еще нет действительных чисел (в других учебниках), числовая ось «дырявая». Не случайно в 7 классе вы говорите про линейную функцию, а про область определения и множество значений молчите — у Вас еще нет числовых промежутков. Вы говорите, что каждому числу соответствует единственная точка. Чистая правда — каждому рациональному числу да, других дети не знают. Но когда говорите, что каждой точке прямой соответствует число, то это уже и не совсем правда. Некоторым точкам соответствуют иррациональные числа, которых дети не знают. Так что нас радует в раннем изучении линейной функции в 7 классе? Кстати, Александра, чуть выше по ветке есть отклик на мои сборники задач, которые, естественно, вложены в учебники, которые Вы ругали.
Я робко возражаю, чтобы хотя бы одну душу вывести из ада непонимания простых вещей: «Александра, Вы мама ученика или ученицы или учительница — от этого зависит восприятие материала? Довожу до Вашего сведения, эти действительные числа есть и в нашем учебнике для 6 класса. Я преподавал эти темы с 1988 года и никогда не замечал трудностей для учащихся. Про ад Вы меня удивили, теперь буду рассказывать на лекциях учителям. Наоборот — это очень интересные открытия про бесконечность. Как преподавать, описано в книге для учителя в разделе Книги для учителя — боковое меню сайта www.shevkin.ru. Если чего не поняли, я объясню — понятно объяснять я умею. Так что разберитесь — и будет Вам счастье».
А теперь коротко о предмете спора. Некоторых учителей и родителей пугает раннее введение действительных чисел. Обычно в учебниках алгебры они появляются в 8 классе до, а иногда и после введения понятия арифметического корня. Число «квадратный корень из двух» появлялся как число, квадрат которого равен 2. Какой естественный вопрос возникает у детей? — Это число можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби (про бесконечные дроби дети ещё не знают)? Хороший учитель скажет, а ещё лучше докажет, что это число нельзя записать в виде обыкновенной дроби. Но не может, следуя учебнику, сказать, а как же его тогда можно записать.
Только в девятом классе появляется понятие предела последовательности и бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Здесь на интуитивном уровне показывается, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной дроби, то есть всякая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа, следовательно, квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, это иррациональное число.
Почему появление иррациональных чисел и их десятичной записи отложено на 8-9 класс? Разве этот вопрос там изложен обоснованно? — Нет. Предел последовательности даётся интуитивно… А что мешает на том же интуитивном уровне ввести иррациональные числа уже в 6 классе, когда обсуждается проблема взаимосвязи двух способов записи дробей — в виде обыкновенной и десятичной дроби. Мы устанавливаем, что:
1) всякая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной дроби (0,37 = 37/100);
2) всякая обыкновенная дробь может быть записана или в виде конечной десятичной дроби (0,25 = 1/4), или в виде бесконечной периодической десятичной дроби (1/3 = 0,333… = 0,(3);
3) всякая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной дроби.
В девятом классе в этом месте применяют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии — не буду показывать, как именно, так как «мы все учились понемногу — чему-нибудь и как-нибудь». Упомянутая формула получена с опорой на интуитивное представление о пределе последовательности — большего в 9 классе и не надо.
В конце 6 класса мы тоже опираемся на интуитивное представление о том, что при умножении бесконечной десятичной дроби на 10, 100, 1000… запятую в записи этой дроби надо перенести вправо на 1, 2, 3… цифры вправо. Это правило мы не доказываем в учебнике — это за пределами потребностей и возможностей шестиклассников. Мы лишь убеждаемся несколько раз в верности полученного результата, выполняя деление уголком. Покажу на примерах, из презентации, ссылка на которую приведена ниже, как любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби.
Дальше делаем вывод: Каждое рациональное число может быть разложено в периодическую дробь, а каждая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Здесь же обсуждается задача, ставящая некоторых взрослых в тупик: докажите равенство: 0,(9) = 1. Дети спокойно справляются с ней, действуя по усвоенному образцу, а взрослые тиражируют в Интернете непонимание простого вопроса.
В этот момент обязательно найдётся ребёнок, который спросит: «Вот Вы постоянно говорите «бесконечная десятичная периодическая дробь» — а бывают дроби непериодические?» Похвалив за хороший вопрос, учителю приходится признаваться: да, бывают. И приводить примеры: a = 0,101101110… (число единиц после каждого нуля увеличивается на один) и другие примеры.
Дети следом приводят свои примеры. В этот момент у них нет потребности доказывать непериодичность такой дроби — она ясна интуитивно: никакой «кусок» в записи этой дроби не будет повторяться бесконечно, так как число единиц изменяется.
Здесь уже у учителя возникает вопрос: «Ребята, мы знаем, что всякая бесконечная десятичная периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа, а является ли бесконечная десятичная непериодическая дробь десятичным разложением некоторого рационального числа?
В сильном классе найдётся ученик, который ответит так: предположим, что число a — бесконечная десятичная непериодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа. Это число можно записать в виде обыкновенной дроби, которая сама может быть разложена в периодическую дробь. Получается, что a — и периодическая, и непериодическая дробь. Получили противоречие. Следовательно, бесконечная десятичная непериодическая дробь не является десятичным разложением некоторого рационального числа.
— А что же это за число? — спрашивают ученики.
— Это не рациональное число. Такие числа называют действительными, то есть нерациональными.
Если ученик не докажет, то доказательство проведёт учитель в беседе с классом. Способ доказательства «от противного» им знаком — в 5 классе разбирали доказательство факта: «любые два соседние натуральные числа являются взаимно простыми».
— А все вместе — рациональные и иррациональные числа — называют иррациональными числами, — подведёт итог учитель. Остаётся сказать, что с действительными числами выполняют те же арифметические действия (без деления на нуль), получая в итоге действительное число. Для вычислений иррациональные числа приходится округлять… И всё! Ничего, кроме записей при помощи радикалов в знании школьников о действительных числах не добавится до окончания школы.
Учитывая, что построение линии числа в наших учебниках последовательное, обоснованное, с доказательствами — сначала на числовых примерах, а потом и «на буквах», что в начале 7 класса мы повторяем и систематизируем всю информацию о числах за 5-6 классы, начиная с натуральных чисел, учащиеся спокойно воспринимают этот материал, не подозревая о тех адских муках, которые описала Александра. Возможно, она прочитала название первой главы «Действительные числа», но не прочитала названия каждого из трёх параграфов: Натуральные числа, Рациональные числа, Иррациональные числа — и решила, что всю первую четверть дети изучают действительные числа. Так надо ли было, не посмотрев в святцы, бить в колокола? — остаётся открытым вопрос.
Надеюсь, что я убедил Александру в том, что при умелом преподавании математики по нашим учебникам работать можно — с опорой не на «нарешивание примеров» и поиск заданий на выработку вычислительных навыков, которые всё равно то и дело пропадают, так как не опираются на понимание. Можно учить более экономно и эффективно — не за счёт вала вычислительных примеров, а вычислять, опираясь на понимание учащимися сути выполняемых действий. Так что можно учить хорошо, интересно и увлекательно. Без воображаемых адских мук. Чего я и желаю моему критику Александре.
Презентация: Варианты построения курса алгебры в 7 классе