Упростим решение задачи и составим новую
На странице Задача ПРОФИ, которую не могла решить несколько лет опубликована задача, решённая с привлечением большого числа теоретических фактов. Её решение полезно разобрать для того, чтобы повторить эти факты.
Давайте уменьшим число этих самых фактов. Итак, задача. В ней исключено лишнее условие.
1. Около четырёхугольника, стороны которого равны 7, 9, 13, 11, описана окружность. Точка касания вписанной в него окружности со стороной длины 7 делит её на два отрезка x и y. Величина |x – y| равна
1) 0; ___ 2) 0,7; ___ 3) 1,3; ___ 4) 3,3; ___ 5) 2,7
Из цитируемой статьи
Сначала отметим, что в условии задачи было сказано, что стороны четырёхугольника последовательно равны 7, 9, 13, 11. Слово «последовательно» лишнее, так как четырёхугольник описан около окружности, поэтому суммы противоположных его сторон равны. Эти суммы равны 7 + 13 и 9 + 11, из чего следует, что стороны четырёхугольника при обходе по (или против) часовой стрелки последовательно равны 7, 9, 13, 11.
Не сказать, что решение получилось более простое, но в нём меньше применяемых теоретических фактов. Вот и славно! Но оказывается, что задача решается и без теоремы косинусов — применением подобия двух пар треугольников. Приведём решение без ссылки на 1-й способ.
Интересно, можно ли эту задачу решить ещё проще?
А теперь решите задачу на доказательство.
Один из комментаторов упомянутой выше статьи предложил решить задачу 1 при помощи факта, который можно доказать.
Доказательства задач 2 и 3 есть в более полной статье: