Упростим решение задачи на площадь
Вчера у меня был волнительный день: перешёл в категорию 70+.
С юбилеем поздравили соратники по борьбе за сохранение образования в стране, учителя, с которыми я работал, друзья, знакомые и родственники. Выпускники 10б класса школы 679 (1984), у которых я в последний раз был классным руководителем, прислали душевные стихи, шикарные цветы и восхитительный торт. Выпускница этого класса Елена Шумакова в потоке поздравлений от класса прислала мне свою замечательную картину. Бесконечно тронут. Спасибо. Постараюсь и дальше оправдывать ваше доверие.
Ближе к вечеру шум в доме затих. Заглянул я на страничку «Математика» на Яндекс.Дзене. Моё внимание привлекла задача с простым условием, которую блогер решил тремя «взрослыми» способами. И я спросил себя: «А не тряхнуть ли нам стариной, не поискать ли «детское» решение?»
Итак, задача из Интернета.
1. Внутри квадрата выбрали точку, соединили её с серединами сторон этого квадрата. Образовалось 4 четырёхугольника. Площади трёх из них известны (см. рисунок на открытке новости). Найти площадь четвёртого.
Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по геометрии
Для решения задачи 1 решим подготовительную задачу.
2. Внутри квадрата выбрали точку, соединили её с вершинами этого квадрата. Образовалось 4 четырёхугольника, площади которых S1, S2, S3, S4 (см. рисунок). Докажите, что S1 + S3 = S2 + S4.
Из данной точки проведём перпендикуляры к двум противоположным сторонам квадрата. Пусть сторона квадрата a, длина одного перпендикуляра x, другого a – x. Тогда S1 + S3 = 0,5ax + 0,5a(a – x) = 0,5a2. Но тогда S2 + S4 = a2 – 0,5a2 = 0,5a2. Следовательно, S1 + S3 = S2 + S4.
Теперь решим задачу 1. Соединим последовательно середины квадратов. Получим меньший квадрат, внутри которого суммы площадей розовых и зелёных треугольников равны (задача 2). Если к каждой из этих сумм прибавить поровну — по две площади белых треугольников, то получим равенство S + 20 = 16 + 32, откуда S = 28.
Спасибо блогеру за красивую задачу.
Задача для самостоятельного решения
3. Внутри ромба ADCD площади 24 взяли точку O. Соединили её с вершинами ромба. Площадь треугольника DOC равна 7. Найдите площадь треугольника AOB.