Тестовые задачи и метод подобия
На канале Валерия Волкова разобрано решение сложной текстовой задачи.
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 13 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 1 час 30 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Источник. Простой алгоритм ➜ Задача ЖЕСТЬ про трёх велосипедистов от Ященко — YouTube
Разбор решения на канале не вызывает вопросов, кроме одного: как ученику научиться быть таким же кудесником и правильно решать задачи. Всё решение умещено Валерием в один кадр, но многие пояснения, которые при обоснованном решении должны быть записаны, произнесены за кадром. Записанное решение не выглядело бы таким коротким.
Предлагаю обсудить ещё два способа решения задачи, обратив внимание на те методы, которые приводят к составлению уравнений. Прежде всего, воспользуемся тем, что решатели такой сложной задачи уж точно знают график прямолинейного равномерного движения. Изобразим графики движения трёх велосипедистов в одной системе координат.
Способ 1. Обозначим скорость третьего велосипедиста v км/ч (v > 13), время его движения до того момента, когда он догнал второго t ч. В момент, когда два велосипедиста находятся на одинаковом расстоянии от посёлка (через t + 2 и через t + 3,5 часа), выразим эти расстояния двумя способами и составим два уравнения.
Расстояние CD равно 10(t + 1) км, или vt км. Первое уравнение:
10(t + 1) = vt.
Расстояние EG равно 13(t + 3,5) км, или v(t + 1,5) км. Второе уравнение:
13(t + 3,5) = v(t + 1,5).
в которой второе уравнение получено вычитанием первого уравнения системы (1) из второго уравнения. Выразим из второго уравнения t через v:
Это уравнение имеет два корня, из которых один меньше 13 и не удовлетворяет условиям задачи, а второй 25.
Итак, скорость третьего велосипедиста равна 25 км/ч.
Способ 2. Воспользуемся обозначениями и некоторыми результатами из первого способа решения задачи. Второй велосипедист за 1 час проехал расстояние AB = 10 км, а за t + 2,5 часа — расстояние FG = 10t + 25 км.
Расстояние EF = EG – FG = 13(t + 3,5) – (10t + 25) = 3t + 20,25(км).
Ответ. 25.
Какой из трёх способов покажется более понятным, зависит от уровня подготовки школьника и его личного вкуса. Но разбор всех трёх способов решения задачи будет полезным.