Реализация Концепции развития математического образования средствами УМК издательства ПРОСВЕЩЕНИЕ
Реализация Концепции развития математического образования в РФ средствами УМК издательства «Просвещение»
А.В. Шевкин,
avshevkin@mail.ru
Концепция — это система взглядов.
Утверждённая на высоком уровне концепция развития математического образования — это система взглядов на то, как должно развиваться математическое образование в России.
Это система чьих взглядов?
Поручение разработать концепцию развития математического образования было сформулировано в майских указах В.В. Путина 2012 года. Разумеется, такие предложения готовят для Президента профильные специалисты, которые конечно же знают, как они потом будут выполнять эти поручения. Не прошло и полгода после публикации майских указов, как до Президента РФ и Председателя правительства РФ кто-то донёс весьма здравую мысль о роли и возможностях математики в деле подъёма России. Да так убедительно, что они в один день (11.10.2012) сделали заявления о необходимости вложений в математику. Нетрудно догадаться, откуда подул ветер, так как уже 4.12.2012 «Известия» опубликовали радостные рассуждения дважды академика (РАН и РАО) А.Л. Семёнова по поводу предстоящей работы.
Приведу только один неполный абзац из его интервью: «Новую концепцию матобучения (именно так! — А.Ш.) планируется выстраивать на нескольких показателях: результатах Государственной итоговой аттестации в 9-м и 11-м классах, мониторингах результатов обучения, данных мониторинга вузов, результатах международных исследований и стандартах стран-членов Азиатско-Тихоокеанского экономического сотрудничества (АТЭС)».
Эту тираду никак не могли сочинить в «Известиях», а в ней полное непонимание того, на чём должна строиться концепция математического образования! На сайтах «Известий» и www.shevkin.ru я опубликовал отклик на радостные планы А.Л.Семенова, упомянув о том, что мы не Иваны, родства не помнящие, что у нас есть свои результативные методики и традиции в обучении математике. Этот отклик закончился словами: «Извините за резкость, но сколько же можно издеваться над школьным математическим образованием, подбрасывая новые и новые «идеи», не стоящие даже серьёзного обсуждения, но, как на грех, стоящие огромных денег и наших нервов?» Можно добавить, что отчётов о внедрении предложенных ранее «идей» образовательное сообщество ни разу не видело. Намечать следующие шаги, не анализируя последствия предыдущих — это признак непрофессионализма или злого умысла. Нельзя новыми проектами забалтывать провалы по предыдущим.
Здесь уместно вспомнить, что будто бы сказал высокопоставленный чиновник Третьего рейха Роберт Лей: «Инновации – главный ваш инструмент. Под маркой экспериментов и заимствований иностранного опыта смело наносите удары ломом».
Не ручаюсь за точность цитаты из Интернета, но уж больно точно и кратко в ней сформулировано напутствие «реформаторам» математического образования в России, просто эпиграф для всей их работы!
Так какой концепции развития математического образования мы должны следовать? — Тех, кто внедряет у нас систему навязанного невежества? Как нам ей следовать, если мы уже знаем, что она внедряется около 20 лет, всё время обновляясь новыми предложениями и документами без всякой реакции на провалы в образовательной политике? На мой взгляд, учитывая политические реалии последних лет и даже месяцев, желая отстоять возможность России сохранить у себя образование на уровне, достаточном для воспроизводства высококлассных инженерных, научных, преподавательских кадров, нам нужно следовать не освящённой прежними министрами образования и науки концепции, а той концепции традиционного математического образования, которая есть в головах представителей научного и образовательного сообщества, отстранённого от влияния на формирование документов для образования. Тем более, что новый министр образования и науки РФ Ольга Юрьевна Васильева уже сделала несколько важных заявлений, показывающих, что караван образовательных реформ начинает разворачиваться в сторону учета интересов России. Одно из таких заявлений «у нас сейчас нет содержания стандартов, у нас есть требования» (http://volgasib.ru/obshestvo/32433-olga-vasileva-lglavnaya-zadacha-sejchas-napolnit-obrazovatelnye-standarty-soderzhaniemr.html ) очень мягко говорит о бессодержательности ФГОСов, о чём буквально кричало образовательное сообщество, когда утверждались эти стандарты. Но нас не хотели слышать. Между тем, ни научно, ни практически не доказана реализуемость ФГОСов. Ничем не обоснованный приоритет деятельности и компетенций над знаниями и умениями придётся пересматривать.
Надо отдавать себе отчёт, что в России в последние 20 лет внедрялся прозападный проект колониального образования. Нам на самом верху управления образованием сказали, что знания, умения и навыки — это пережитки советской системы образования, что теперь главное компетенции и деятельность в процессе обучения, презентации, самопрезентации, работа в группах и непременно формулировка учащимися цели урока перед его началом. Вплоть до отказа признать урок соответствующим ФГОСам, если в начале урока дети не сформулировали его цель, если они не «открывают» новые знания самостоятельно. На мой взгляд здорового консерватора, это полное непонимание реального учебного процесса.
Утверждённые программы по математике для 5-9 классов (2015) лишь изредко, видимо, по ошибке, содержат требования «знать» и «уметь». В требованиях по 5-6 классам на базовом уровне на один глагол «знать» приходится 26 мускулистых деятельностных глаголов:
Выпускник научится в 5-6 классах (для использования …)
• оперировать …
• задавать …
• находить …
• распознавать …
• оперировать …
• использовать …
…
• знать …
Между тем, вопрос о компетенциях впервые был поставлен во Франции лет 50 тому назад, когда туда стали приезжать учиться выходцы из бывших французских колоний. Для продолжения образования в Европе у них не было документов об образовании европейского образца. Так как претенденты на поступление в высшие учебные заведения не могли показать необходимой подготовки и владения предметом, то с них стали требовать лишь компетенций, то есть умения найти в доступных источниках необходимую информацию и воспользоваться ею на практике.
Почувствуйте разницу: европейцы придумали компетентности для интеграции у себя выходцев из своих бывших колоний, а у нас так предлагают обучать коренное население. Совсем не случайно «реформаторы» образования всё время повторяли, что столько математики нам больше не нужно, нам негде её применить. В бытность министром образования и науки РФ А.А. Фурсенко всерьёз полагал, что «недостатком советской системы образования была попытка формировать человека-творца, а сейчас задача заключается в том, чтобы взрастить квалифицированного потребителя, способного квалифицированно пользоваться результатами творчества других» (УГ, 31.08.04),
Поскольку приемлемую концепцию развития математического образования в верхах ещё не приняли, то желая выживания России как самостоятельного государства, способного к самообеспечению высококвалифицированными кадрами и к обороне, заставляет нас придерживаться концепции развития математического образования, существующей пока в виртуале, в наших головах, в лучших отечественных образовательных традициях. Историческое противостояние России и объединённого Запада не оставляет нам другого выбора. Время наивной веры в интеграцию России (без её разрушения и поглощения) в западную «цивилизацию» прошло окончательно.
Что нам придаёт уверенности в правильности обращения к традициям отечественного образования? — Вера в то, что у нас была и ещё есть разумная технология обучения. Приведу неожиданное подтверждение высказанной мысли. В Заключении Аналитической записки НАТО об образовании в СССР 1959 г. читаем: «Государства, самостоятельно соревнующиеся с СССР, впустую растрачивают свои силы и ресурсы в попытках, обреченных на провал. Если невозможно постоянно изобретать методы, превосходящие методы СССР, стоит всерьез задуматься над заимствованием и адаптацией советских методов». http://statehistory.ru/4316/Analiticheskaya-zapiska-NATO-ob-obrazovanii-v-SSSR-1959-g-/
Правда, с тех пор мы испортили своё образование реформами, привнёсшими в преподавание математики наукообразие вместо обещанного повышения научности, бессистемность в изучение ряда важных понятий, утратили умение развивать мышление и речь учащихся в процессе обучения их решению текстовых задач арифметическими способами, ввели одиннадцатилетний всеобуч с почином «Учим без двоек! Учим без второгодников!» В результате вся ответственность за результаты обучения была снята с учащихся и переложена на плечи учителя. Результат не заставил себя ждать.
А про результаты «реформы» образования последних лет вы сами знаете: уменьшено число учебных часов на математику в начальной школе — 4 часа в неделю (было 7 часов в неделю в 40-е годы), а также в среднем звене. Взят курс на отказ от фундаментальности обучения с ориентиром на практикоориентированное обучение и список задач ОГЭ и ЕГЭ. При этом привнесли большой по объёму материал, связанный с анализом данных, статистикой и вероятностью. Реализуемость этого предложения ни научно, ни практически ещё не доказана, однако в программе по математике на базовом уровне в 7-9 классах исчезло понятие «действительное число», хотя требуются преобразования выражений, содержащих корни (специальные записи действительных чисел — рациональных и иррациональных) без изучения свойств корней. В программе есть требование в 7-9 классах:
• Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень;
а дальше, не оперируя понятием иррациональное число, ученик будет:
• распознавать рациональные и иррациональные числа;
Выполнить в точности по программе перечисленные требования невозможно без понятия иррационального числа, как бесконечной непериодической десятичной дроби. Иначе как будем «распознавать рациональные и иррациональные числа»? По наличию корня? Но — иррациональное число, а — рациональное как объяснить различие без непериодической десятичной дроби? В чём заключается иррациональность (нерациональность) числа?
Программа толкает нас на обучение по образцам без понимания смысла выполняемых действий, что не так уж свойственно российской школе.
Отрицательные примеры из принятой в 2015-2016 гг. программы по математике для 5-11 классов можно множить. Подробнее вы можете посмотреть опубликованную в журнале «Математика в школе» и на моём сайте статью «Программа по математике 2015 года, или Торжество непрофессионализма». Ссылка
От критической части моего выступления перехожу к конструктивной. Как же нам сохранить, а лучше бы возродить хорошее математическое образование в школе?
Прежде всего, надо сохранять фундаментальность и системность обучения. Наше понятийное обучение математике строится совсем не так, как на Западе. Мы даём определение понятия, доказываем (или только сообщаем — зависит от возраста учащихся и учебника) его свойства и признаки, устанавливаем связь нового понятия с ранее изученными, учим детей применять новые знания для решения математических задач, применению их на практике. Да, последний аспект у нас не сильно развит, но именно потому, что у нас другое обучение (по сравнению с западным).
Обучение на Западе почти исключительно ведётся по образцам с ориентацией на практические нужды. Там не развивают теоретическое мышление, а годы топтания на практических нуждах дают плачевные результаты.
В статье «Компетентностный подход в образовании как отказ от всестороннего развития личности» Олег Рашидович Каюмов пишет: «В американской школе дети невесть сколько раз пишут заявление о приёме на работу — как же, «подготовка к жизни»! В итоге 80% выпускников этой несчастной бумажки написать не могут. От 15% до 25% американцев функционально неграмотны – не могут читать и писать в объёме, необходимом для полноценного функционирования в обществе!» https://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=793
Если мы будем снижать планку требований к математической подготовке школьников и дальше портить программу по математике, то очень скоро придём к американскому результату. В опубликованном в Интернете моём выступлении перед учителями математики Московской области «Фундаментальность образования, которую мы можем потерять» приведены примеры того, к чему приводит совсем другой подход (из опыта западных школ и университетов). https://www.shevkin.ru/?action=ShowTheFullNews&ID=1286
Приведу только пару характерных примеров про дроби и производную. Академик В.И. Арнольд писал: «…наши школьники до сих пор свободно складывают дроби, тогда как американские студенты давно уже думают, будто
1/2 + 1/3 = 2/5». [В.И. Арнольд. Что такое математика? – М.: МЦНМО, 2008.]
Однажды академик В.И. Арнольд рассказал министру образования и науки В.М. Филиппову про выпускников американских школ и сложение дробей. И Владимир Михайлович во время очередного визита в США, встречаясь с американскими студентами и рекламируя лучшее в мире российское образование, не преминул пересказать эту байку. Тогда один из студентов задал ему вопрос: «Господин министр, у вас в жизни возникали ситуации, когда нужно было сложить 1/2 и 1/3?» Филиппов поразмыслил и честно сказал, что, конечно же, не возникали. Студент обратился к остальным присутствующим: «Кому хоть раз приходилось прибавлять 1/2 к 1/3?» Никому не приходилось. «И зачем же, — обратился студент к министру, — в российских школах это изучают?»…
Министр не нашёл достойного ответа: «Мы учим детей обыкновенным дробям потому, что это обучение даёт учащимся первое представление о построении математической теории (определения понятий, доказательство свойств), эта работа способствует формированию теоретического мышления школьников, необходимого для изучения математики и смежных дисциплин. Кроме того, вычисления с дробями нужны в математике, они являются фундаментом для построения теории алгебраических дробей». Не кажется ли вам, что наши «реформаторы» уподобляются тому американскому студенту, когда призывают нас отказаться от «академизма» обучения ради «приближения школы к жизни»?
В той же книге академик В.И. Арнольд пишет про студента четвёртого курса, которому на письменном экзамене по дифференциальным уравнениям было запрещено пользоваться компьютером и калькулятором. Студент спросил: «А как же я узнаю, будет ли число 5/7 больше или меньше единицы?»
А вот наблюдение доктора ф.-мат. наук В.С. Доценко во французском университете: «В этом учебном году я обнаружил, что среди пятидесяти моих учеников-первокурсников… восемь человек считают, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали «научный БАК», … в котором приоритет отдаётся математике и физике. Все эксперты, которым я это рассказывал и которые не имеют опыта преподавания в парижских университетах, сразу же становятся в тупик. Пытаясь понять, как такое может быть, они совершают стандартную ошибку, свойственную всем экспертам: пытаются найти в этом логику, ищут (ошибочное) математическое рассуждение, которое может привести к подобному результату. На самом деле все намного проще: им это сообщили в школе, а они, как прилежные ученики (а в университет попадают только прилежные ученики!), запомнили… Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то была производная функции) сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3, как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: «Да? Хорошо…» Если бы я им сообщил, что это равно 1/10, реакция была бы точно такой же» [Пятое правило арифметики].
В той же статье читаем: «Теперь производная функции. Милые эксперты, не пугайтесь: никакой теоремы Коши, никакого «пусть задано эпсилон больше нуля…» тут не будет. Когда я только начинал работать в университете, некоторое время ходил на занятия моих коллег — других преподавателей, чтобы понять, что к чему. И таким образом я обнаружил, что на самом деле все намного-намного проще, чем нас когда-то учили. Спешу поделиться своим открытием: производная функции — это штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции. Ей-богу, я не шучу — прямо так вот и учат. Нет, разумеется, это далеко не все: требуется заучить свод правил, что произойдет, если штрих поставить у произведения функций и т. п.; выучить табличку, в которой изображено, что этот самый штрих производит со стандартными элементарными функциями, а также запомнить, что [будет] если результат этих магических операций оказался положительным, значит, функция растёт, а если отрицательным — убывает».
Перехожу к конкретному примеру реализации той самой традиционной концепции математического образования, которая ещё не принята официально, но реализуется нами на практике в учебниках «Математика, 5–6», Алгебра,
7–9», Алгебра и начала математического анализа, 10–11» серии «МГУ-школе» (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) с 1996 года, а с 1999 года с помощью издательства «Просвещение». В первом издании «Арифметики, 5–6» (1988) впервые после начала реформы математического образования конца 60-х годов было предложено отказаться от раннего использования уравнений при решении текстовых задач.
Основные положения концепции наших учебников:
Математика едина и может быть изложена в одном учебнике для работы по разным программам. Содержание учебника должно соответствовать научной точке зрения на изучаемые вопросы.
Учебник должен сочетать в себе научность, стройность, экономность и логичность изложения материала с доступностью для учащихся его учебных текстов.
Учебник не должен ограничиваться интересами «среднего» ученика, он должен удовлетворять интересам всех учащихся — от «слабых» до «сильных».
Учебник должен быть пригоден для организации дифференцированного обучения и должен обеспечивать любой желаемый уровень глубины изучения материала.
Способ изложения материала в учебнике, организация учебных текстов и системы упражнений должны обеспечивать достижение разных целей обучения при работе по разным программам.
Мы предлагаем систематическое обучение математике на строгом научном фундаменте.
Как, например, больше 40 лет изучают числовые множества в самых распространённых и привычных учителям учебниках математики?
Ещё со времён реформы математического образования 60-х–70-х годов прошлого века в 5–6 (тогда 4–5-х) классах был нарушен традиционный для России порядок изучения числовых множеств — всё ради мнимого преимущества более раннего введения «практически важных» десятичных дробей и «приближения школы к жизни».
В большинстве российских школ числовые множества изучают в таком порядке. Повторяют некоторые сведения из натуральных чисел, вводят обыкновенные дроби без их основного свойства, сравнивают, складывают и вычитают сначала дроби, затем смешанные числа с общим знаменателем. Потом на этой базе, недостаточной даже для математического обоснования равенства 0,5 = 0,50, вводят действия с десятичными дробями. Обоснования правил действий дают через метрические соотношения между величинами (за пределами изучаемой математической теории).
В 6 классе возвращаются к натуральным числам (делимость, признаки делимости, НОД, НОК), потом доучивают обыкновенные дроби — сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей. Далее вводят отрицательные числа — сразу на множестве всех рациональных чисел, что затрудняет усвоение правил определения знака результата из-за разных модулей чисел — это могут быть натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби. Такое запутанное изучение чисел не способствует формированию у учащихся теоретического мышления и правильных представлений о построении математической теории.
Что мы предлагаем делать и делаем в своих учебниках. Мы проводим традиционное для российской школы последовательное расширение числовых множеств: в 5 классе повторяем натуральные числа. Школьники изучают свойства операций с натуральными числами, свойства и признаки делимости натуральных чисел. Далее на этой основе изучаются в полном объёме обыкновенные дроби. В 6 классе школьники изучают целые числа — это позволяет легче освоить идею определения знаков арифметических действий с целыми числами, затем на этой основе изучаются действия с обыкновенными дробями произвольного знака (множество всех рациональных чисел). Только после этого изучается специальная запись некоторых рациональных чисел в виде десятичных дробей (сначала положительных). Вопрос перехода от десятичной дроби к обыкновенной и от обыкновенной к десятичной естественным образом приводит к появлению бесконечных периодических десятичных дробей. Линия числа в 6 классе завершается знакомством с иррациональными числами (бесконечными непериодическими десятичными дробями), действия с которыми осуществляются приближённо.
Такой порядок изучения числовых систем проверен многолетней практикой, начиная с 1985/1986 учебного года, в том числе в многолетнем авторском эксперименте. Связывать иррациональность числа с непериодичностью его десятичной записи много проще, чем с радикалами. Это подтверждают шестиклассники, легко справляющиеся с задачей переводного (из 9-го класса в 10-й) экзамена Министерства просвещения РСФСР:
• Может ли разность двух иррациональных чисел быть рациональным числом.
Наш подход даёт систематическое изучение числовых множеств, позволяет сделать изложение материала более обоснованным, доказательным и в то же время более доступным для учащихся, которые с первого полугодия 5 класса учатся проводить простые доказательные рассуждения. А это способствует развитию понятийного мышления, формирует представление о математической теории, методах её построения.
Кроме того, к началу 7 класса у нас есть числовая база, позволяющая изучать одночлены, многочлены, алгебраические дроби как дальнейшие расширения числовых систем, доказывать алгебраические тождества сразу для всех действительных чисел. А сейчас формулу квадрата суммы и другие формулы сокращенного умножения изучают на множестве рациональных чисел, а применяют, без всяких оговорок, и для иррациональных чисел, что не совсем корректно. К моменту изучения функций в 8 классе мы имеем непрерывную числовую ось и можем без всяких оговорок, которые обычно и не делают, строить непрерывные графики и корректно использовать непрерывность графиков, например, для доказательства существования положительного числа, квадрат которого равен 2. Наконец, в геометрии ещё в 6 классе мы говорим о числе π и о длине окружности, в то время как по другим учебникам про это говорят, не имея соответствующей числовой базы. Мы с полным основанием говорим, что каждый отрезок имеет определенную длину, например, можем обоснованно утверждать это про длину диагонали квадрата со стороной 1. На уроках геометрии в 7 классе об этом тоже говорят, не имея соответствующей числовой базы.
Мы предлагаем систематически и подробно изучать каждый математический объект, не делая бессистемных перескоков с одного объекта изучения на другой: числа, буквы, уравнения, неравенства, графики и т. п. При таком подходе формируются полные знания и умения, а не бессистемные, отрывочные и неполные, которые требуют больше усилий для поддержания через систему повторения. Интересность в изучении математики мы видим не в переключении с одного объекта изучения на другой, а в более полном овладении изучаемыми понятиями, в красоте и силе методов математики.
С 1985 года, ещё через ротапринтные варианты нашего первого экспериментального учебника «Арифметика, 5–6» мы предлагаем отказаться от навязанного школе раннего использования уравнений для решения текстовых задач и развивать мышление и речь учащихся — «инструментарий обучения» (и не только математике). Здесь на первое место выходит использование арифметических способов решения текстовых задач, дающих возможность познакомить учащихся со старинными задачами и способами их решения. Это позволяет создавать положительный эмоциональный фон обучения и вводить его в исторический контекст, показывать связь математики с жизнью, с историей своего народа и всего человечества, что напрямую работает на развитие и на понимания роли математики в мире, в котором мы живём.
За это время я опубликовал ряд статей и книг, обосновывающих необходимость возвращения к утраченной традиции, показал реализацию этого подхода в сборниках текстовых задач и в учебниках.
Независимо от того, по какому учебнику работает учитель, надо стремиться обучить школьников решать текстовые задачи арифметическими способами, а не использовать на ранней стадии обучения уравнение как «универсальный» способ. Об этом довольно жёстко написано в моей первой книге «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах».
Мышление учащихся 5-6 классов конкретно и это надо учитывать в работе с текстовыми задачами. Я рад, что давно предлагаемые мною идеи возрождения отечественных традиций в обучении школьников неожиданно были поддержаны составителями программ по математике 2015-2016 гг. В эти программы включено требование «учащиеся должны уметь решать задачи арифметическими способами». Тем самым завершился мой заочный спор с Н.Я. Виленкиным, написавшим в журнале «Математика в школе» (4/1988): «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придётся ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…».
Арифметические способы решения текстовых задач — последний вопрос, на котором я остановлюсь в своём выступлении. В Концепция моего курса повышения квалификации для учителей «Текстовые задачи в школьном курсе математики» (Первое сентября, 2005-2016) записано:
«Пока мы будем учить детей на русском языке — не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач — традиционного для отечественной методики средства обучения математике».
Теперь уже многие родители и учителя плохо представляют, что такое арифметические способы решения текстовых задач, какие возможности для развития мышления и речи школьников они не используют, не всегда видят пользу в использовании текстовых задач и арифметических способов их решения.
Приведу несколько примеров того, что такое арифметические способы решения и какие результаты даёт методика, реализованная в упомянутых учебниках и книгах. До сих пор в школе изучают только один способ решения всевозможных задач, который дети усваивают с большим трудом. Однажды моя коллега рассказала, как её попросил ученик: Научите нас, пожалуйста, решать задачи «На пусть».
В учебнике мы различаем несколько типовых задач, к решению которым подходим по-разному. Это задачи, связанные с арифметическими действиями, задачи «на части», на совместную работу, на деление числа в данном отношении и пропорции и др.
Рассмотрим типовую задачу из учебника для 5 класса на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
1. В двух пачках 70 тетрадей — в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Для решения задачи можно составить уравнение, а можно рассуждать иначе. Уберём 10 тетрадей из первой пачки, тетрадей в пачках станет поровну, по (70 –10):2 = 30. Теперь вернём в первую пачку 10 тетрадей, в ней станет 30 + 10 = 40 (тетр.).
1) 70 – 10 = 60 (тетр.) — удвоенное число тетрадей во второй пачке,
2) 60:2 = 30 (тетр.) — тетрадей во второй пачке,
3) 30 + 10 = 40 (тетр.) — в первой пачке.
2. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?
И здесь можно составить уравнение, а можно рассуждать так. Представим, что некто раздавал сначала по 2 динария и у него осталось 3 динария. Если бы у него было на 8 динариев больше, то 11 динариев он распределил бы между всеми бедными, дав каждому ещё по 1 динарию. То есть бедных было 11.
Запишем это решение по действиям.
1) 3 + 8 = 11 (динариев) — можно раздать сверх выданных двух динариев.
2) 3 – 2 = 1 (динарий) — можно раздать каждому сверх выданных двух динариев.
3) 11 : 1 = 11 (бедных) — было.
Возьмём старинную китайскую задачу с «круглыми» числовыми данными:
3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего у них 30 голов и 70 ног. Определите число фазанов и число кроликов.
Можно составить уравнение 4x + 2(30 – x) = 70, где x — число кроликов, и получить ответ задачи. Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа в задаче, но и с целью развития их мышления и речи в процессе работы с нею, если нам небезразличен эмоциональный фон обучения, то полезно провести диалог, найденный мною у старых мастеров методики обучения математике и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи.
— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
— 60 (30·2 = 60).
— Но в условии задачи даны 70 ног, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
— Сколько их?
— 10 (70 – 60 = 10).
— Сколько же кроликов?
— 5 (10:2 = 5).
— А фазанов?
— 25 (30 – 5 = 25).
Есть и другой вариант рассуждения: сначала запустить в клетку 30 фазанов, потом заменять их на кроликов.
4. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, какой цены тот кафтан был.
Здесь возможно решение, приводящее к уравнению. Ученица 6 класса школы 679 г. Москвы Андреева А. предложила вычислить стоимость одного месяца работы проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за неотработанные 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за 1 месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7*1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).
5. ЕГЭ, 2009. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена — за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём?
Задачу можно решить, составив систему уравнений. А можно арифметически, используя старинный способ решения задач. Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работают с одинаковой производительностью. Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют 3 окна, Настя и Лена вымоют 4 окна, а Маша и Лена вымоют 5 окон. За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют 3 + 4 + 5 = 12 (окон). Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют 6 окон, а одно окно они вымоют за
60 : 6 = 10 (мин).
6. ОГЭ, 2016. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Ответ задачи не зависит от того, в какой момент остановился первый велосипедист — лишь бы он после остановки отправился в путь до встречи со вторым велосипедистом. Будем считать, что первый велосипедист выехал позже на 28 мин = 7/15 ч.
1) 30 ∙ 7/15 = 14 (км) — проехал второй велосипедист до выезда первого;
2) 286 – 14 = 272 (км) — осталось проехать велосипедистам до встречи;
3) 10 + 30 = 40 (км/ч) — скорость сближения двух велосипедистов;
4) 272 : 40 = 6,8 (ч) — время движения велосипедистов после выезда второго велосипедиста;
5) 6,8 + 7/15 = 74/15 (ч) — время движения второго велосипедиста;
6) 30 ∙ 74/15 = 218 (км) — искомое расстояние.
Уверен, что эту задачу на ОГЭ лучше решают те школьники, которые учились решать текстовые задачи арифметическими способами. Кстати, по мнению учителей и методистов. классы, работающие по нашим учебникам, показывают хорошие результаты не только на итоговой аттестации, но и на олимпиадах.
Последняя задача с конкурсного экзамена, её аналог был в экзамене для физматклассов, она включена в наш учебник по алгебре для 9 класса.
7. ВШЭ, 1997. Два брата купили акции одного достоинства на сумму $3640. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму $3927. Первый брат продал 75 % своих акций, а второй — 80 % своих. При этом сумма, полученная от продажи акций вторым братом, превышает сумму от продажи акций первым братом на 140 %. На сколько процентов возросла цена акции?
Здесь возможно обычное алгебраическое решение, приводящее к системе трёх уравнений с четырьмя неизвестными. Оно есть в моей книге «Текстовые задачи, 7-11»
А вот решение моего ученика Сидоренко И. (9 класс, ФМШ 2007), прошедшего обучение по нашим учебникам.
Суммы двух братьев, вырученные от продажи акций, относятся как 100 : (100 + 140) = 5 : 12. Разделим сумму 3927 в отношении 5 : 12 (типовая задача 6 класса), получим, что братья выручили от продажи акций 1155 и 2772 соответственно (здесь и далее все суммы в долларах).
Тогда перед продажей акции стоили: у первого брата — 1155 : 0,75 = 1540, у второго — 2772 : 0,8 =
= 3465, а всего 1540 + 3465 = 5005. Все акции, а значит и каждая акция, выросли в цене на
(5005 – 3640)*100% : 3640 = 37,5 %.
Как видим, ученик обученный арифметическим способам решения текстовых задач в 5-6 классах способен применять их много позже и в тех задачах, где учитель ожидает от него алгебраического решения.
В качестве заключения. Коллеги, реализуя любые концепции, особенно принятые без согласования с образовательным сообществом, надо оставаться профессионалами и в деле образования следовать медицинскому принципу «Не навреди!»
Я призываю вас:
Сейте разумное, доброе, вечное…
вопреки обстоятельствам!
Здоровья вам и удачи!
Рекомендую посетить мой сайт, где есть раздел УЧЕБНИКИ, посвящённый поддержке учителей и учащихся, работающих по учебникам серии «МГУ-школе».
Шевкин Александр Владимирович
www.shevkin.ru avshevkin@mail.ru
Дополнение. Рецензии на «Текстовые задачи, 7-11»
Лабиринт.ру http://www.labirint.ru/reviews/all/1068734/
Издательство ИЛЕКСА готовит издание моей книги «Учим решать текстовые задачи», основанной на материалах курса повышения квалификации учителей математики и дополненных задачами ОГЭ и ЕГЭ.
Сайт Издательства ИЛЕКСА: www.ilexa.ru