О пропедевтике действий с отрицательными числами
Статью с таким названием я написал почти 30 лет назад. Она опубликована в журнале «Математика в школе», 1991. № 3, с. 17-21.
Здесь привожу только начало статьи и ссылку на неё.
Изучение отрицательных чисел остаётся одним из самых сложных вопросов программы V – VI классов. Тому есть несколько причин.
Во-первых, традиционно отрицательные числа изучаются после обыкновенных и десятичных дробей — к этой схеме с 1990 г.
возвращается и учебник Н. Я. Виленкина и др. При таком порядке изучения усвоение правил нахождения знака результата осложняется наличием различных алгоритмов выполнения действий с модулями.
Во-вторых, в отличие от натуральных чисел и дробей изучение отрицательных чисел не опирается на предшествующий опыт предметной деятельности, подводящий учащихся к пониманию правил действий с этими числами.
В-третьих, изучение действий с отрицательными числами обычно совмещается с приобретением учащимися недостающего опыта, т. е. собственно изучение действий с числами и их пропедевтика неразличимы в общей канве изложения. В результате оно носит рецептурный характер, что мало способствует общему развитию учащихся. Кроме того, при изучении сложения и вычитания преобладает опора на порядковый аспект числа (шкала термометра, координатная ось), что затрудняет переход к действиям.
На это обстоятельство обратил внимание И. В. Арнольд в книге «Отрицательные числа в курсе алгебры» (1947). Он писал, что числовые отметки на шкале температуры, так же как и номера домов на улице, имеют порядковый смысл: «…если речь идет о температуре в 3°, то неуместно было бы сказать, что она «состоит из температуры в 2° и температуры 1°».
Аналогично обстоит дело и при нумерации точек числовой прямой с помощью отрицательных и положительных чисел: этим устанавливается лишь положение каждой точки относительно выбранного начала, но сложение таких порядковых отметок не отвечает никакой допускающей прямое истолкование операции над соответствующими точками. В отличие от этого имущество «+3 р.» можно считать «состоящим» из +2 р. и +1 р. и, в более общем случае, из наличности 5 р. и 2 р. долгу и т. д.».
Далее И. В. Арнольд пишет: «Для того, чтобы иметь возможность конкретно истолковать сложение, нам приходится от показания термометра переходить к разностям температур, т. е. к характеристикам повышений и понижений температуры с помощью поло-жительных и отрицательных чисел».
Отвлеченный от оси разговор о повышениях и понижениях температуры проходит обычно нормально: учащиеся могут сложить два последовательные изменения температуры и определить, что получилось в результате — повышение или понижение и на сколько градусов. Но как только мы даем иллюстрацию сложения на оси, то неизбежно переходим к сложению «разнородных» слагаемых — «отметки» и «изменения», т. е. смешиваем порядковый и количественный аспекты понимания числа. Рассмотрение же примеров с изменениями на +2 и –3 требует постоянного внутреннего перевода: повышение на 2 и понижение на 3. Стоит ли удивляться, что этот материал вызывает затруднения у многих учащихся.
Каким же образом можно упростить для учащихся изучение отрицательных чисел. Прежде всего, было бы желательно выделить изучение целых чисел отдельным вопросом, что позволило бы учащимся усваивать новые правила действий в более простой ситуации с целыми модулями. Изучению действий с отрицательными числами должна предшествовать пропедевтическая работа, которая может дать учащимся необходимый опыт, подводящий их к пониманию соответствующих правил. Эту работу следовало бы строить с опорой на количественный аспект числа, ведя рассуждения о наличии и долге или выигрыше и проигрыше. Рассмотрим возможный порядок пропедевтики действий с отрицательными числами, основанный на изучении действий с количествами выигрышных и проигрышных очков. Для работы нам потребуются игральные кости — кубики с нанесенными на их гранях обозначениями чисел от 1 до 6 (рис. 1). Кубики лучше взять красного и синего цвета (ассоциация по цвету — тепло и холодно). (В данной публикации мы будем использовать белый и чёрный цвета из-за ограниченных полиграфических возможностей журнала.)
Ссылка: