ФУНДАМЕНТАЛЬНОСТЬ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, КОТОРУЮ МЫ МОЖЕМ ПОТЕРЯТЬ
Шевкин А. В.,
Москва, avshevkin@mail.ru
Аннотация: В статье рассмотрено понятие «фундаментальность обучения» применительно к преподаванию школьной математики.
The article considers the concept of «fundamental education» in relation to the teaching of school mathematics.
Ключевые слова: Математическое образование; фундаментальность обучения; традиции образования.
Mathematics education; fundamental education; education tradition.
Под фундаментальностью обучения математике в школе будем понимать такое его качество, которое проявляется, с одной стороны, в построении школьного обучения на основе базовой науки-математики — с использованием доступного для учащихся содержания и способов действий; с другой стороны, в нацеленности обучения на создание фундамента для последующего изучения математики и смежных школьных дисциплин, а также на подготовку к обучению в вузе. Школьная математика, наряду с русским языком и литературой, создаёт фундамент всего школьного обучения, так как формирует у учащихся их главный инструмент обучения — мышление и речь. Фундаментальность всегда была сильной стороной обучения математике в России (СССР). Она характеризуется привлечением доступного для усвоения школьниками математического содержания, использованием научных способов получения новых результатов с применением определений изучаемых понятий, с доказательствами их свойств, признаков, с обучением новому во взаимосвязи с ранее изученным.
Уже более двадцати лет идёт «реформирование» российского образования. Нам постоянно внушают мысль о том, что фундаментальность обучения математике больше не нужна, что учащиеся перегружены сложным содержанием, что обучение надо упростить и приблизить к практике, что теперь школьникам не нужно столько математики, что достаточно научить их различным видам деятельности, поиску информации, работе в группе, общению, подготовке презентаций.
Фундаментальность обучения математике последовательно и планомерно разрушается уменьшением числа учебных часов, отводимых на её изучение, особенно в начальной школе, где закладываются основы последующего обучения в школе. Сравните: в 1941 г. в начальной школе отводилось 7 уроков в неделю на арифметику, в 2016 — только 4 урока. Продолжаются попытки слияния курсов алгебры и геометрии в единый предмет, тогда как у них разные цели и методы обучения. Не случайно на итоговый контроль в ОГЭ и ЕГЭ выносится единый текст по этим предметам. Программой по математике (2015-2016) в школьный курс алгебры внесено непомерно большое содержание по теории вероятностей и статистике, превышающее объём материала по числам и буквенным выражениям. Это расширение теоретически не обосновано и практически не проверено, но уже сопровождается исключением понятия действительного числа в 7-9 классах. При этом учащиеся должны выполнять простейшие преобразования с квадратными корнями, но без изучения свойств этих корней. Так программа нацеливает учителя на сообщение учащимся отрывочных сведений, а не на формирование полноценных знаний.
Оценка работы школы и учителя по результатам его учащихся на ОГЭ и ЕГЭ, зацикленность учеников и их родителей на высоких баллах ЕГЭ удаляют школу от фундаментального обучения математике, учащихся «натаскивают» на итоговый экзамен. Зато в ЕГЭ пышным цветом цветут псевдопрактические задачи про картофель по 100 руб. и свеклу по 130 руб. за 1 кг, про добычу алюминия и никеля, а не про добычу руд, из которых выплавляют эти металлы, про удивительно нудные способы расчётов за кредиты. Сюда же можно отнести задания из международного исследования PISA, например, такое, в котором смена дня и ночи на Земле зависит исключительно от вращения вокруг своей оси. Тогда как оно зависит и от вращения вокруг Солнца, а этот ответ в тесте PISA считается неправильным.
Разрушительные тенденции в российском образовании вовсе не случайность. Это результат планомерной работы по снижению его уровня. Об этом ясно сказал А.А. Фурсенко в бытность министром образования и науки: «Недостатком советской системы образования была попытка формировать человека-творца, а сейчас задача заключается в том, чтобы взрастить квалифицированного потребителя, способного квалифицированно пользоваться результатами творчества других» (УГ, 31.08.2004). Другими словами, была поставлена задача растить не человека, гражданина, творца, а банального потребителя — отсюда и выбор метода получения запланированного результата: оказание образовательных услуг. На мой взгляд, эпиграфом всей разрушительной деятельности «реформаторов» образования могли бы стать слова незабываемого В.С. Черномырдина: «Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас хорошие помыслы».
А чтобы было понятно, в чьих интересах наши либеральные «реформаторы» понижали уровень образования в России, полезно перечитать «Аналитическую записку НАТО об образовании в СССР 1959 г.». Приведу маленький фрагмент из заключения этого документа: «Государства, самостоятельно соревнующиеся с СССР, впустую растрачивают свои силы и ресурсы в попытках, обреченных на провал. Если невозможно постоянно изобретать методы, превосходящие методы СССР, стоит всерьез задуматься над заимствованием и адаптацией советских методов» [1].
А теперь пример того, какое воздействие оказывалось извне на российское образование на рубеже веков. Профессор РГТУ Г.А. Белая в Независимой газете писала: «Вот и от нас Всемирный банк требует (я читала подготовленный им доклад), чтобы мы отказались от спецшкол, гимназий и лицеев, так как это якобы не демократично, и свернули преподавание гуманитарных и фундаментальных наук, потому что для такой нищей страны, как Россия, это непозволительная роскошь» [2].
Отметим, что по международной классификации товаров и услуг интересующие нас образовательные услуги отнесены к классу 41, в описании которого сказано: «Класс включает, в основном, услуги отдельных лиц или организаций по развитию умственных способностей людей или дрессировке животных, а также услуги, предназначенные для развлечения людей или организации досуга» [3; 4].
Политическая ситуация последних лет и даже месяцев ясно показывает, что Россия, как и раньше, должна будет опираться на собственные силы, растить «собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов». Ситуация меняется на глазах, а нас продолжают корить ссылками на результаты международных исследований за неумение школьников решать практические задачи. В 2002 году И.Ф. Шарыгин писал: «умение применить математические знания на практике трудно проверить в кабинетных условиях, рассматривая придуманные и адаптированные ситуации. Практическое и прикладное значение математики состоит в первую очередь в умении поставить задачу, найти или построить математическую модель, описывающую данную практическую ситуацию, а уж затем найти решение. И в обучении этому умению советско-российское математическое образование вполне преуспело. Интеллектуальное развитие и фундаментальность образования — вот основа прикладных умений, которые приобретает человек в результате изучения математики. И проявляются, и проверяются эти умения… не при ответе на придуманные вопросы, а при решении настоящих технических, экономических, военных или иных проблем, которые ставит общество» [5, С. 118]. Другими словами, без фундаментальности обучения нет прикладных (практических) умений, а псевдопрактические международные исследования, в которых полно ошибок как раз с точки зрения фундаментальной науки, нам не указ.
Если и дальше мы будем подражать западным стандартам обучения, то очень скоро у нас будет та же картина, что и на Западе. Далее я приведу результаты, получающиеся при обучении фактам без задачи формирования теоретического мышления. На них стоит обратить внимание, так как «натаскивание» на ОГЭ-ЕГЭ уводит нас от фундаментального обучения к обучению фактам.
Вот пример от академика В.И. Арнольда: «…наши школьники до сих пор свободно складывают дроби, тогда как американские студенты давно уже думают, будто 1/2 + 1/3 = 2/5» [6, С. 28]. Думаю, что теперь и наши школьники не так свободно складывают дроби по указанным выше причинам.
Рассмотрим пример противопоставления фундаментального обучения и обучения необходимому в жизни. Выступая перед американскими студентами министр образования РФ В.М. Филиппов, ссылаясь на пример академика В.И. Арнольда, сказал, что российские школьники вычисляют с дробями лучше, чем американские. Один студент спросил нашего министра, а давно ли ему приходилось складывать обыкновенные дроби? Министр не смог припомнить такого случая, тогда студент, обведя аудиторию победным взглядом, спросил: «Так зачем вы мучаете российских школьников обыкновенными дробями, если они не нужны в жизни?» Министр не нашёл достойного ответа: «Мы учим детей обыкновенным дробям потому, что это обучение даёт учащимся первое представление о построении математической теории (определения понятий, доказательство свойств), эта работа способствует формированию теоретического мышления школьников, необходимого для изучения математики и смежных дисциплин. Кроме того, вычисления с дробями нужны в математике, они фундаментом для построения теории алгебраических дробей». Не кажется ли вам, что наши «реформаторы» уподобляются тому американскому студенту, когда призывают нас отказаться от «академизма» обучения ради «приближения школы к жизни»?
В той же книге академик В.И. Арнольд пишет про студента четвёртого курса, которому на письменном экзамене по дифференциальным уравнениям было запрещено пользоваться компьютером и калькулятором. Студент спросил: «А как же я узнаю, будет ли число 5/7 больше или меньше единицы?» [6, С. 75].
Заметьте, этого студента не учили даже не в лучших российских традициях: «числитель и знаменатель дроби «соревнуются», кто сильнее, и каждый тянет дробь в свою сторону. Числитель тянет дробь вверх. Если он больше знаменателя, то дробь больше, чем 1. А знаменатель упирается…» [7].
А вот наблюдение доктора ф.-мат. н. В.С. Доценко во французском университете: «В этом учебном году я обнаружил, что среди пятидесяти моих учеников-первокурсников… восемь человек считают, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали «научный БАК», … в котором приоритет отдаётся математике и физике. Все эксперты, которым я это рассказывал и которые не имеют опыта преподавания в парижских университетах, сразу же становятся в тупик. Пытаясь понять, как такое может быть, они совершают стандартную ошибку, свойственную всем экспертам: пытаются найти в этом логику, ищут (ошибочное) математическое рассуждение, которое может привести к подобному результату. На самом деле все намного проще: им это сообщили в школе, а они, как прилежные ученики (а в университет попадают только прилежные ученики!), запомнили… Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то была производная функции) сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3, как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: «Да? Хорошо…» Если бы я им сообщил, что это равно 1/10, реакция была бы точно такой же» [8].
В той же статье читаем: «Теперь производная функции. Милые эксперты, не пугайтесь: никакой теоремы Коши, никакого «пусть задано эпсилон больше нуля…» тут не будет. Когда я только начинал работать в университете, некоторое время ходил на занятия моих коллег — других преподавателей, чтобы понять, что к чему. И таким образом я обнаружил, что на самом деле все намного-намного проще, чем нас когда-то учили. Спешу поделиться своим открытием: производная функции — это штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции. Ей-богу, я не шучу — прямо так вот и учат. Нет, разумеется, это далеко не все: требуется заучить свод правил, что произойдет, если штрих поставить у произведения функций и т. п.; выучить табличку, в которой изображено, что этот самый штрих производит со стандартными элементарными функциями, а также запомнить, что если результат этих магических операций оказался положительным, значит, функция растёт, а если отрицательным — убывает» [8].
И последний пример из той же статьи: «… я каждый год упорно задаю своим ученикам один и тот же вопрос: кто может объяснить, почему синус 30 градусов равен 1/2? Я преподаю уже пять лет, и каждый год у меня около пятидесяти учеников; так вот, из двухсот пятидесяти моих учеников за все время на этот вопрос мне не ответил ни один человек» [8].
Нельзя утверждать, что с фундаментальностью школьного математичес-кого образования у нас всё хорошо. Ещё со времён колмогоровской реформы математического образования в 5-6 классах был нарушен традиционный для России порядок изучения числовых множеств — всё ради мнимого преимущества более раннего введения «практически важных» десятичных дробей и «приближения школы к жизни».
В большинстве российских школ числовые множества изучают в таком порядке. Повторяют некоторые сведения из натуральных чисел, вводят обыкновенные дроби без их основного свойства, сравнивают, складывают и вычитают сначала дроби, затем смешанные числа с общим знаменателем. Потом на этой базе, недостаточной даже для математического обоснования равенства 0,5 = 0,50, вводят действия с десятичными дробями. Обоснования правил действий дают через метрические соотношения между величинами (за пределами изучаемой математической теории).
В 6 классе возвращаются к натуральным числам (делимость, признаки делимости, НОД, НОК), потом доучивают обыкновенные дроби — сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей. Далее вводят отрицательные числа — сразу на множестве всех рациональных чисел, что затрудняет усвоение правил определения знака результата из-за разных модулей чисел — это могут быть натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби. Такое запутанное изучение чисел не способствует формированию у учащихся теоретического мышления и правильных представлений о построении математической теории.
Выше было упомянуто вынесенное за пределы математической теории обоснование действий с десятичными дробями. Рассмотрим другие примеры. В одном школьном учебнике математики равенство 2:3 = 2/3 сообщается при первоначальном введении дробей, то есть ученики ещё не знают, что есть 2:3, а им «доказывают» равенство этого «неизвестно чего» дроби с помощью разрезания каждого из двух равных яблок на 3 равные части. В другом учебнике равенство 2:9 = 2/9 обосновывают с помощью кексов, а понятие дроби вводят как сумму долей с явной записью: 2/9 = 1/9 + 1/9. Некорректность такого подхода очевидна, т. к. новое понятие вводится через никак не определенное понятие «сумма долей». Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями в этом учебнике также дано через ещё не определённую «сумму долей». На мой взгляд, такое обучение вредно — и для учащихся, и для квалификации учителя.
Про дробь 2/3 можно сказать, что она читается ещё как «2 делённое на 3», но тогда лучше добавить, что позже мы докажем это равенство. И в своё время доказать:
2 : 3 = 2/1 : 3/1 = (2*1)/(1*3) = 2/3.
Примеры объяснения математических фактов с выходом за пределы математической теории можно множить. Иногда такие выходы неизбежны в силу возрастных особенностей восприятия школьников. Например, переместительный закон сложения натуральных чисел можно объяснять сложением 5 красных и 3 синих карандашей в разном порядке. Научное доказательство потребовало бы введения аксиоматики натуральных чисел, что находится за пределами возрастных возможностей восприятия пятиклассников. А переместительный закон сложения обыкновенных дробей уже можно доказать в рамках математической теории с опорой на переместительный закон сложения для натуральных чисел — сначала на конкретном примере:
3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = (2 + 3)/7 = 2/7 + 3/7.
Приведённое доказательство легко сделать общим, заменив числа буквами. При желании можно проиллюстрировать доказательство примером с долями пирога, подсчитывая их количество в разном порядке, но надо различать доказательство в рамках математической теории и иллюстрацию.
Для формирования доказательных умений, теоретического мышления школьников надо не упускать имеющиеся возможности. За этим мы тщательно следим в своих учебниках (С.М. Никольский и др.). Например, в математике имеется только один распределительный закон
(a + b)с = aс + bс.
Мы не считаем необходимым вводить, как это было принято до нас, два распределительных закона — «для сложения» и «для вычитания». Второй «закон» есть следствие первого. Чтобы доказать равенство
(a – b)с = aс – bс,
надо к разности (a – b)с прибавить вычитаемое bс и с помощью распредели-тельного закона убедиться, что получается уменьшаемое aс:
(a – b)с + bс = (a – b + b)с = aс.
Сильные пятиклассники понимают и воспроизводят это доказательство.
С точки зрения методики обучения математике, наиболее рациональная система изучения чисел заключается в последовательном и по возможности более полном изучении каждого числового множества с использованием возможно большего числа доступных доказательств. В противном случае у учащихся не формируются полные знания и умения, теоретическое мышление, правильные представления о способах построения математических теорий, не возникает понимание того, почему применяемые ими математические методы дают правильные результаты.
В 2015–2016 годах приняты самые худшие за последние 100 лет программы по математике. Их единственное «положительное» качество — они полностью отвечают провальному образовательному стандарту. Процесс обучения математике перегружен ложными целями, идущими от системно-деятельностного подхода так, что школа уже не может давать прежних результатов. А если дрейф от фундаментального обучения к западным «идеалам» продолжится, то очень скоро и у нас картина будет как на Западе.
Важно понимать, что более 20 лет российское образование реформировали с целью понижения его уровня не в интересах государства и народа. Об этом пока не говорят открыто, но уже есть обнадёживающие сигналы: новый министр образования и науки О.Ю. Васильева считает, что работа учителя не является оказанием образовательных услуг, что школа должна воспитывать человека, а не потребителя, что оценка ЕГЭ не является оценкой деятельности школы, что надо приостановить слияния вузов, восстановить приёмные экзамены во всех вузах. Уверен, что без серьёзной переоценки всего, что сотворили с образованием, без признания ошибочности и бесплодности поисков нашей новой школы на путях рыночных отношений в образовании дело так и не сдвинется с места. Надеюсь, что поворот образования к интересам России произойдёт. Для будущего возрождения школьного образования надо делать всё, чтобы сохранять лучшие традиции отечественного математического образования, к которым относится его фундаментальность. Выделим три проблемы, которые надо решать для этого.
1. Надо показывать образцы построения математической теории с использованием определений, доказательств свойств и признаков понятий, иначе учащиеся будут применять инструменты математики без понимания того, почему они дают верные результаты, их знания будут ненадёжны и недолговечны. При этом надо обучать школьников доказательствам, начиная с простейших доказательных рассуждений на конкретных примерах.
2. Надо формировать осмысленные полные умения, которые, кроме прочего, требуют меньше времени для повторения, так как более надёжно сформированы. Они — основа математической грамотности школьников. Однако это формирование существенно зависит от структуры учебника, по которому работает учитель с классом, от способа построения изложения учебного материала в учебнике и на уроке.
3. Надо развивать мышление и речь учащихся — «инструментарий обучения», и не только математике. Здесь на первое место выходит использование арифметических способов решения текстовых задач, дающих возможность познакомить учащихся со старинными задачами и способами их решения. Это позволяет создавать положительный эмоциональный фон обучения и вводить его в исторический контекст, показывать связь математики с жизнью, с историей своего народа и всего человечества, что напрямую работает на развитие понимания роли математики в мире, в котором мы живём.
Мы рассмотрели несколько примеров из 5-6 классов, подрывающих фундаментальность обучения математике на раннем этапе. Здесь может возникнуть вопрос: а есть ли положительные примеры? Надеюсь, что положительным примером является построение теории и устройство системы упражнений в наших учебниках математики для 5-11 классов серии «МГУ – школе» (С.М. Никольский и др.). Присмотритесь к ним внимательнее. Информация об учебниках есть на сайте www.shevkin.ru.
Список использованных источников
1. Аналитическая записка НАТО об образовании в СССР 1959 г.
http://statehistory.ru/4316/Analiticheskaya-zapiska-NATO-ob-obrazovanii-v-SSSR-1959-g-/
2. Филологи для рыночной экономики. // Новая газета, 23.06.2000.
3. Международная классификация товаров и услуг. Класс 41. Воспитание; обеспечение учебного процесса; развлечения; организация спортивных и культурно-просветительных мероприятий (http://www.mktu.info/services/41/)
4. Является ли работа учителя оказанием образовательных услуг? / А.В. Шевкин. (https://www.shevkin.ru/?action=ShowTheFullNews&ID=730)
5. О математическом образовании России [Текст] / И.Ф. Шарыгин // Образование, которое мы можем потерять. Сборник. Под общей редакцией В.А. Садовничего. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ИКИ, 2002. – С. 113-130.
6. Что такое математика? [Текст]: / В.И. Арнольд – М.: МЦНМО, 2008. – 104 с.
7. Рецензии на рукописи учебников Шеврина Л.Н. и др. [Текст] / А.В. Шевкин.
https://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=284
8. Пятое правило арифметики [Текст] / В.С. Доценко // Наука и жизнь. № 12, 2004.http://www.nkj.ru/archive/articles/457/
P.S. Приношу извинения за плохой набор дробей. После автоматической установки Win10 я потерял возможность помещать на сайте статьи в вордовском формате. Команда технического обеспечения сайта раздумывает над обновлением сайта, благодарю за понимание.
А.В.Шевкин.
http://www.kipk.ru/files/fck/4980/Шевкин.doc