Бесконечность в 5-6 классах. Связь времён
Моё первое потрясение от осознания бесконечности — бесконечность ряда натуральных чисел 1, 2, 3, … В памяти сохранился спор, которому я был свидетелем, учась в начальной школе. Одноклассники поспорили, кто из них назовёт самое большое число.
— Сто, — сказал первый.
— Тысяча, — ответил второй.
— Миллион…
Победителем оказался назвавший «число» «сиксиксиклион». Тут уже не поспоришь.
От воспоминаний детства переходим к текущим делам. Обучаясь в 5 классе по учебникам серии «МГУ-школе», учащиеся узнают ещё один факт про бесконечность. Оказывается, множество простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, … тоже бесконечно. Этот факт сообщается без доказательства в пункте 3.3 учебника. В дополнении в главе 3 уточняется, что в книге «Начала» древнегреческого учёного Евклида доказано, что простых чисел бесконечно много. Приведём доказательство, которое может показать учитель в сильном классе.
Предположим, что количество простых чисел конечно, то есть, что существует наибольшее простое число. Обозначим его p, тогда любое число, большее p, составное. Запишем произведение N всех простых чисел: N = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ … ∙ p.
Число N делится на любое простое число, а число 1 не делится ни на одно из них, поэтому сумма N + 1 не делится ни на одно простое число. К этому моменту соответствующее свойство делимости натуральных чисел уже изучено. Так как число N + 1 не делится ни на одно простое число, меньшее его, то это число простое, оно больше p. Мы получили противоречие: из нашего предположения «количество простых чисел конечно» следует, что число N + 1 составное, а мы доказали, что это число простое. Следовательно, наше предположение неверно, и на самом деле количество простых чисел бесконечно.
Я вовсе не утверждаю, что любой пятиклассник, прослушавший это доказательство, поймёт его и воспроизведёт на следующем уроке. Сильный и поймёт, и воспроизведёт — проверял неоднократно, а слабый поймёт, что в математике утверждения доказывают, что этому надо учиться, если хочешь хорошо знать математику.
Следующая встреча с бесконечностью происходит в 5 классе при изучении неотрицательных рациональных чисел, записываемых в виде обыкновенных дробей. Оказывается, между любыми двумя рациональными числами a и b есть ещё одно рациональное число — их среднее арифметическое. Например, между 0 и 1 есть 1/2, между 0 и 1/2 есть 1/4 и т. д. Это означает, что между любыми двумя рациональными числами a и b содержится бесконечно много рациональных чисел.
Следующая встреча — бесконечные периодические десятичные дроби. Мы даём этот материал в конце 6 класса, им обычно завершали изучение арифметики, например, в знаменитом учебнике А.П. Киселёва для царских гимназий (первое издание 1884 г.) С конца 30-х использовался в СССР, но в 1963 году я учился в 5 классе по другому учебнику. Причём больше, чем за 100 лет изложение этого вопроса не изменилось в главном, но в учебнике не было обоснования правила перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, пригодного для понимания учащимися. Оно было дано мелким шрифтом в указаниях для учителя в конце учебника и требовало понимания пределов, что недоступно учащимся 5-6 классов.
Академик С.М. Никольский, написавший первый вариант нашей «Арифметики» ещё до 1985 года, учился по учебнику А.П. Киселёва в царской гимназии и тепло отзывался об учебнике. Сергей Михайлович во многом сохранил классических подход А.П.Киселёва к изложению числового материала в учебнике. Но упростил изложение материала о бесконечных периодических дробях, сделав его доступным современным шестиклассникам. Вы понимаете, что совсем не случайно на обложке первого издания нашей «Арифметики» были фигуры Пифагора и Архимеда с рисунка из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого хотелось зрительно подчеркнуть связь времён, следование хорошим отечественным традициям.
Порядок изложения материала такой. Сначала устанавливаем, что любую десятичную дробь (конечную) можно записать в виде обыкновенной дроби. Затем устанавливаем, что есть два способа записать в виде конечной десятичной дроби любую несократимую обыкновенную дробь, разложение знаменателя которой на простые множители содержит только множители 2, 5, их произведения и степени. Хочешь — умножай числитель и знаменатель дроби на недостающее число «двоек» или «пятёрок», хочешь — дели числитель на знаменатель уголком.
Бесконечность появляется, как только в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители оказывается хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5. Попробуем записать 1/3 в виде десятичной дроби. Умножать числитель и знаменатель дроби на подходящее число, чтобы получить 10, 100, 1000… не получается. А при делении 1 на 3 уголком получается бесконечный процесс, дающий бесконечную десятичную дробь 0,333…, которую называют бесконечной периодической десятичной дробью и записывают так: 0,(3). Добавляем, что и любое натуральное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби: 3 = 3,000… = 3,(0).
Дети воспринимают запись 0,(3) как другую запись известного им числа 1/3, поэтому никаких сложностей не возникает. Дальше мы показываем запись любой периодической дроби в виде обыкновенной. Начнём со знакомой дроби 0,(3) = 0,333…
x = 0,333…
10x = 3,333…
В этом месте дети сами предлагают перенести запятую вправо на 1 цифру. Учитель должен уточнить, что такого правила для бесконечных периодических дробей мы не изучали, поэтом в конце надо проверить, даёт ли его применение верный результат. Далее:
10x – x = 3,333… – 0,333…
9x = 3.
А здесь дети объясняют, что у дробей 3,333… и 0,333… после запятой одинаковые «хвостики» цифр (в каждом разряде по 3), поэтому при вычитании получится 3,000… = 3. Наконец,
x = 3/9,
x = 1/3.
Рассуждая аналогично, можно получить равенство 0,(9) = 1:
x = 0,999…
10x = 9,999…
10x – x = 9,000…
9x = 9,
x = 1.
Можно поступить иначе. Вы согласны, что 1/3 = 0, 333…? Тогда сложите три таких верных равенства. У вас получится 1 = 0,999… = 0,(9).
После нескольких примеров в необязательном пункте 5.3* показываем, как аналогичными рассуждениями записать в виде обыкновенной дроби 2,35(7).
x = 2,35777…
100x = 235,777…
1000x = 2357,777…
1000x – 100x = 2357 – 235,
900x = 2357 – 235,
Аналогично показывается, что любую периодическую дробь с периодом 9 можно заменить равной ей конечной десятичной дробью.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает. Кроме того, использование дробей с периодом 9 привело бы к нарушению правил сравнения десятичных дробей. Поэтому обычно не рассматривают дроби с периодом 9.
А вот дальше я вкратце расскажу о неожиданно активной дискуссии по поводу моей заметки Почему 0⁰ = 25?https://zen.yandex.ru/media/shevkin/pochemu-0—25-5f1c7844697d3b104b575201
Моя заметка — реакция на заметку, в которой утверждалось, что
0⁰ = 1. Нет смысла здесь пересказывать её содержание — кому интересно, тот прочитает. Там интересна дискуссия в комментариях, про равенство 0,(9) = 1. Возражения написаны в стиле «Этого не может быть, потому что не может быть никогда». Для отстаивания своей позиции люди используют бесконечно малые величины, пределы. Я упомянул, что теория периодических дробей была обоснована при помощи пределов в «Арифметике» А.П. Киселёва более 100 лет назад, и это обоснование не опровергнуто математиками. Так вот из той теории следует, что равенство 0,(9) = 1. Взрослые люди вместо того, чтобы постараться разобраться в моих аргументах, отбрасывают их и предлагают свои.
Второй, рассуждая про бесконечно малые, договорился до несуществующего объекта: 0,(9)1. У него «в конце» десятичной дроби стоит цифра 1, а число девяток бесконечно увеличивается. Человек сконструировал невозможный объект (у бесконечной периодической дроби НЕТ КОНЦА) и доказывает свою правоту. При этом только ленивый не высказывает сомнений в том, что я понимаю содержание мною написанного.
Третий пишет, что число 0,(9) = 0,999… стремится к 1, хотя на самом деле к 1 стремится последовательность приближений числа 0,(9) до первого, до второго, до третьего,… разряда после запятой (с недостатком). Вот эта последовательность: 0,9; 0,99; 0,999; …
В комментариях открывается много чего интересного про то, что остается в головах людей после того, как они давно забыли, что изучали в школе. А причина, на мой взгляд, проста. Учить надо не рецептам действий с объектами, а пониманию объектов, с которыми выполняются действия. В частности, с бесконечными периодическими дробями надо познакомить учащихся при изучении арифметики (конец 6 класса), а не при изучении суммы бесконечной геометрической прогрессии, формула для вычисления которой требует понимания пределов. Не полезно о простых фундаментальных понятиях говорить вскользь и кое-как. В противном случае мы имеем то, что имеем.
Как же правы древние мудрецы: «Многие знания — многие печали»! Здесь я эту фразу понимаю так: когда простым для понимания вещам не научили вовремя, как следует, когда их дают тогда, когда уже изучены сложные вещи, да с применением этих сложных вещей, тогда и наступают «многие печали».