В трёх сосудах 36 литров воды. Из первого сосуда перелили 1/2 всей воды во второй, 1/3 воды, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий. И 1/4 воды из третьего сосуда перелили в первый. После этих переливаний воды во всех сосудах стало поровну. Сколько литров воды было первоначально в каждом сосуде?
Решение. После первого, второго и третьего переливания в первом, втором и третьем сосудах осталось 1/2, 2/3 и 3/4 воды, имевшейся в каждом из этих сосудов до переливания.
Тогда в третьем сосуде перед последним переливанием было 12 : 3/4 = 16 (л) воды, из него отлили 16 – 12 = 4 (л) воды, а в первом сосуде до последнего переливания было 12 – 4 = 8 (л) воды.
Во втором сосуде перед вторым переливанием было 12 : 2/3 = 18 (л) воды, из него отлили
18 – 12 = 6 (л) воды, а в третьем сосуде до второго переливания было 16 – 6 = 10 (л) воды.
В первом сосуде перед первым переливанием было 8 : 1/2 = 16 (л) воды, из него отлили
16 – 8 = 8 (л) воды, а во втором сосуде до первого переливания было 18 – 8 = 10 (л) воды.
У двух братьев было стадо баранов. Они продали его и за каждого барана получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Выручку стали делить пополам. Старшему брату – десятку, младшему брату – десятку, старшему – десятку, младшему – десятку. И так несколько раз. Потом старший брат взял свою десятку, а младшему нескольких рублей не хватило до десяти. Тогда старший вынул из кармана нож и отдал брату в компенсацию за недостающую сумму. Сколько стоил нож?
Решение 1. Вырученная сумма — натуральное число (это квадрат числа баранов). Число целых десяток нечетное, так как они закончились на старшем брате.
Тогда вырученную сумму n2 можно записать так: n2 = 10(2k + 1) + p = = 20k + 10 + p, где 2k + 1 — число целых десяток, а p — последняя сумма, полученная младшим братом. Откуда видно, что число n2 при делении на 20 имеет остаток 10 + p.
Квадраты натуральных чисел 1, 2, …, 9, 10 при делении на 20 дают остатки: 1, 4, 9, 16, 5, 16, 9, 4, 1 и 0. Любое многозначное натуральное число можно записать в виде 10a + b, где b — цифра единиц (однозначное натуральное число), а его квадрат — в виде 100a2 + 20ab + b2. Так как два первых слагаемых делятся на 20 без остатка, то остаток от деления на 20 числа n2 равен остатку от деления на 20 его последней цифры, т. е. одному из чисел: 1, 4, 9, 16, 5, и 0.
Последняя целая десятка входит в единственный остаток 16. Значит, младшему досталось 6 рублей, а излишек 10 – 6 = 4 (р.) старший брат поделил поровну, оставив себе 2 р. и отдав брату нож, который стоил 2 р.
Ответ. 2 р.
Примечание. Когда мы обсуждали решение задачи в классе, то возник спор. Некоторые учащиеся считали, что с помощью ножа нельзя уравнять суммы, полученные братьями от продажи баранов, так как стоимость ножа не входит в сумму, вырученную от продажи баранов. Эти возражения можно было бы принять, если бы в условии задачи не было сказано «в компенсацию за недостающую сумму». Если бы старший брат разменял одну десятку и дал младшему брату 2 р., то братья разделили бы вырученную сумму поровну. Не имея такой возможности, старший отдал младшему 2 р. в компенсацию за недостающую сумму, т. е. младший брат получил свои 2 р. в виде ножа. Поэтому надо считать, что задача решена верно.
Теперь приведем решения этой задачи, которые нам прислали.
Решение 2.Прислали Дьячков А. В., школа № 103 и Романовский В.И., Израиль, г. Реховот, преподаватель математики, один из авторов сайта www.math-on-line.com, автор книги «Арифметика помогает алгебре», М.: Физматлит, 2007. Решения одинаковы, но решение Романовского В.И. более подробно описано, что полезно для посетителей сайта. Его мы и публикуем.
Выручка от продажи баранов численно равна квадрату числа баранов в стаде и выражается числом, содержащим нечетное количество полных десятков. Обозначив число проданных баранов N, запишем равенство N2 = 10(2n + 1) + k, гдеk — сумма, полученная младшим братом на последнем этапе дележа (k < 10).
Число N представимо в виде N = 10a + b. Поэтому N2 = (100a2 + 20ab) + b2. Число десятков в первом слагаемом полученной суммы четно. Следовательно, b2 содержит нечетное число десятков. Этому условию отвечают два значения числа b, b = 4 и b = 6. В обоих случаях цифра единиц числа b2 равна 6. Итак, k = 6, младший брат получил на 4 меньше старшего. Передав младшему брату нож, стоимость которого равна 2 (половине указанной суммы), старший брат обеспечил справедливость дележа.
Метод неопределенных коэффициентов,
или Сведение уравнения к системе
Дмитрий из Москвы попросил нас подсказать идею решения такого уравнения:
(x2 + 4x– 2)2 + 4(x2 + 4x– 2) – 2 = x.
Данное уравнение преобразуется к виду
x4 + 8x3 + 16x2–x– 6 = 0.
Оно не имеет рациональных корней. Раскладываем его левую часть на множители методом неопределенных коэффициентов. Подберем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:
(x2 + mx– 2)(x2 + nx + 3) = x4 + 8x3 + 16x2–x– 6.
Для этого раскроем скобки слева и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.
Получим m = 3, n = 5, то есть наше уравнение равносильно уравнению:
(x2 + 3x– 2)(x2 + 5x + 3) = 0.
Окончание решения должно быть понятным.
Успехов тебе, Дмитрий!
P.S.Не успели «высохнуть чернила» на этом решении, как с нами связался известный автор интересных статей в газете МАТЕМАТИКА Александр Александрович Прокофьев сообщил, что такого рода уравнения были на конкурсном экзамене в его МИЭТе и предложил еще одну идею решения. Она покажется полезной тем, кому сложно подобрать те самые коэффициенты m и n. Действительно, приведенный выше метод не всегда дает нужные коэффициенты с первой попытки.
Итак, обозначим t = x2 + 4x– 2, тогда корень исходного уравнения можно будет найти, решив систему двух уравнений
t = x2 + 4x– 2, x = t2 + 4t– 2.
Для ее решения из первого уравнения вычтем второе, получим уравнение
t–x = x2–t2 + 4x– 4t,
которое приводится к виду
(x–t)(x + t + 5) = 0.
Теперь, рассмотрев два случая t = x и t = –x – 5, из первого уравнения системы найдем четыре корня исходного уравнения.
17.03.2005. Эту задачу придумал А. Эйнштейн в прошлом веке и полагал, что 98 % жителей Земли будут не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы (по мнению А. Эйнштейна) к 2 % самых умных людей планеты?
Больше года назад мы разместили на сайте эту задачу и получили много откликов от учащихся, решивших задачу. Время от времени нас просят рассказать ее решение. Сегодня мы выполняем эту просьбу.
УСЛОВИЯ:
Есть 5 домов пяти цветов.
В каждом доме живет один человек: немец, англичанин, швед, датчанин и норвежец.
Каждый пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных.
ВОПРОС: У кого живет рыба?
ПОДСКАЗКИ:
Англичанин живет в красном доме.
Швед держит собаку.
Датчанин пьет чай.
4.Зеленый дом стоит слева от белого.
Жилец зеленого дома пьет кофе.
Человек, который курит «Pall Mall», держит птицу.
Жилец из среднего дома пьет молоко.
Жилец из желтого дома курит «Dunhill».
Норвежец живет в первом доме.
Курильщик «Marlboro» живет около того, кто держит кошку.
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill».
Курильщик «Winfield» пьет пиво.
Норвежец живет около голубого дома.
Немец курит «Rothmans».
Курильщик «Marlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду.
Приводим решение, которое прислал ученик 8 Д класса школы № 1173 г. Москвы Ирисов Глеб.
Норвежец живет в первом доме по условию.
Так как норвежец живет около голубого дома, и он живет в первом доме, то голубой дом может быть только вторым
Средний дом является третьим и его жилец, по условию, пьет молоко.
Так как зеленый дом стоит слева от белого и жилец зеленого дома пьет кофе, то зеленый дом не может быть ни первым (так как слева стоит голубой дом), ни третьим (так как его жилец пьет молоко), ни пятым (так как это крайне левый дом). Голубой дом стоит вторым, следовательно, зеленый дом четвертый, а пятый белый дом.
Остаются неизвестными цвета первого и третьего домов, которые могут быть желтым и красным (остальные цвета уже определены). Но англичанин живет в красном доме, а норвежец в первом. Следовательно, красный дом третий, а первый дом желтый.
Жилец желтого дома, который является первым, курит «Dunhill».
Рядом с курильщиком «Dunhill» живет человек, который содержит лошадь, но рядом с первым домом может стоять только второй дом. Значит, жилец второго дома содержит лошадь.
Так как датчанин пьет чай, то он может жить либо во втором доме, либо в пятом, потому, что в первом доме живет норвежец, а жилец четвертого дома пьет кофе.
Пусть датчанин живет в пятом доме и пьет там свой чай, тогда курильщику «Winfitld» и одновременно любителю пива ничего не остается, как поселиться во втором доме, т.к. в третьем, четвертом и пятом доме предпочитают безалкогольные напитки, а в первом доме курят «Dunhill».
Если любитель пива обосновался во втором доме, то жильцу первого дома остается пить только воду, т.к. все другие напитки уже распределены между жильцами соседних домов. Но по соседству с жильцом первого дома, по условию, должен жить курильщик «Marlboro», а не «Winfitld», следовательно, получили противоречие с условием задачи и помещение датчанина с чаем в пятый дом было ошибочным, ему следует предоставить второй дом.
В этом случае любитель пива и «Winfitld» будет жить в пятом доме, а пить воду по прежнему придется норвежцу, т.к. все другие напитки уже разобрали.
Соседом норвежца, живущего в первом доме, может быть только жилец второго дома (предпочитающий чай и содержащий лошадь), теперь ему придется, согласно условию, еще и курить «Marlboro».
Немец может жить только в четвертом и пятом доме, т.к. в первом, втором и третьем живут норвежец, датчанин и англичанин. Но немец курит «Rothmans», а жилец пятого дома «Winfitld», следовательно, немец живет в четвертом доме.
В оставшемся пятом доме проживает швед, и, по условию, он содержит собаку.
Предпочтения всех жильцов, кроме англичанина, в отношении марок сигарет уже определены, это «Dunhill», «Winfitld», «Rothmans», «Marlboro». Следовательно, англичанин курит «Pall Mall» и, по условию, содержит птицу.
Курильщик «Marlboro», по условию, живет около того, кто содержит кошку. Но у курильщика «Marlboro», живущего во втором доме, двое соседей, но жилец третьего дома содержит птицу, следовательно, кошка живет в первом доме у норвежца.
Четверо домашних животных уже распределены по своим домам, это: кошка, лошадь, птица и собака. Остался не занятым только четвертый дом. Следовательно, рыба живет в четвертом доме у немца.
Если вы сможете упростить решение, то сообщите нам по адресу avshevkin@mail.ru
17.02.2005 к нам поступило письмо из г. Кызыла с просьбой помочь решить задачу.
Задача. Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?
Начнем с алгебраического решения.
Пусть у первого х динаров, у второго у динаров. После передачи семи динаров у них станет соответственно (х + 7) динаров и (у – 7) динаров, тогда верно равенство
х + 7 = 5(у – 7).
А после передачи 5 динаров у них станет соответственно (х – 5) динаров и (у + 5) динаров, тогда будет верно равенство
7(х – 5) = у + 5.
Решив систему из двух полученных уравнений, получим х = 7 2/17, у = 9 14/17.
Числовые данные здесь не очень хороши, но если это старинная задача, то, как говорится, из песни слова не выбросишь.
Рассмотрим красивое арифметическое решение этой задачи. Изобразим общую сумму денег двух людей в виде отрезка. Тогда после передачи семи динаров у первого станет в пять раз больше, чем у второго — у первого 5 частей, у второго 1 часть, то есть у второго останется одна часть из шести, 1/6 общей суммы.
После передачи пяти динаров у второго станет в 7 раз больше, чем у первого, то есть у первого останется 1/8 общей суммы.
Тогда 5 + 7 = 12 динаров составляют 1 – 1/6 – 1/8 = 17/24 общей суммы, то есть всего у них было 12 : 17/24 = 288/17 = 16 16/17 динара, поэтому у первого была 1/8 этой суммы, да еще 5 динаров, то есть 7 2/17 динара, а у второго 16 16/17 – 7 2/17 = 9 14/17 динара.
