Задачи на прямую и обратную пропорциональность
Задачи 246–250 предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности.
При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле
стоимость = цена · количество
и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей. Аналогичная работа с задачами 249–250 проводится по формуле
путь = скорость · время.
246.о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:
а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?
247.о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:
а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?
248.о Имеются деньги на покупку 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?
249. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.
а) Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) Какое расстояние проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
250. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч.
а) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
Наблюдения, полученные учащимися при решении задач 246–250, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональностей.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз.
Далее, опираясь на опыт решения задач 246–250 и определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 251–254. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие – нет. В случае затруднений нужно обращаться к конкретным числовым данным.
251.о Какова зависимость между:
1) ценой одного карандаша и стоимостью нескольких карандашей при постоянном их количестве?
2) количеством карандашей и их стоимостью при постоянной их цене?
3) количеством карандашей и их ценой при постоянной их стоимости?
252.о Какова зависимость между:
1) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения?
2) временем и расстоянием при постоянной скорости?
3) временем движения и скоростью при постоянном пути?
253.о Какова зависимость между:
1) Количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?
2) Числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет?
3) Количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
254.о 1) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью покупки?
2) Расстояние между городами можно проехать на велосипеде или на мотоцикле. Какова зависимость между временем и скоростью движения?
Работу над заданиями 251–254 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b · с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:
стоимость = цена · количество,
путь = скорость · время,
работа = производительность · время.
Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения первой величины, отношение которых тоже целое число.
255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?
Разумеется, эту и многие следующие задачи учащиеся могут решить «по-старому» – подавлять такие решения не следует, но перед учащимися нужно ставить цель решить задачу новым способом, а предлагаемые решения по действиям использовать для сравнения способов решения. При этом нужно обязательно
отметить, что еще встретятся задачи, в которых «старый» способ не сработает.
Для нового способа решения потребуется краткая запись условия задачи:
В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянно скорости эти величины прямо пропорциональны. Здесь и далее уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх.
256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на:
1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?
257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?
2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?
258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?
В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Разумеется, стрелки можно ставить в обратном направлении — от меньшего значения к большему. Однако удобнее направление стрелок связать с увеличением (вверх) и уменьшением (вниз) величины. Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина? Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее — дробным.
Цель задаваемого вопроса двоякая: помочь учащимся определить вид зависимости и подготовить их к усвоению нового приема решения тех же задач — без пропорций, необходимого для решения задач на сложное тройное правило.
259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:
1) 10 маляров? 2) 1 маляр?
Заметим, что эту задачу можно решить без пропорции, но для этого придется ввести не очень удобные «человеко-дни»:
1) 5·8 = 40 (человеко-дней) потребуется на всю работу;
2) 40:10 = 4 (дня).
Пропорции позволяют обойтись без человеко-дней.
В задаче 259, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям.
Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер. Так если в задаче 260 пропорциональность числа пойманных карасей и времени рыбной ловли весьма проблематична, то в задаче 261 уж точно такой зависимости нет – это нужно подробно разобрать с учащимися.
260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?
261. 1) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
2) Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?
3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, так как чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть данный пример. В книге 10 + 90 = 100 страниц.
Если прочитано 10 стр., то осталось прочитать 90 стр.
» » 30 » » » 70 »
Рассмотрим еще две задачи, в которых зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность. К первой из них в разделе «Ответы и советы» приведено решение, которое желательно разобрать с учащимися.
262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух известных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?» В случае затруднения нужно просить учащихся округлить данные и дать ответ сначала приближенно, а потом точно. Так для задачи 264 учащиеся могут сказать: «Количество сукна увеличилось примерно в 16/8 = 2 раза, а точнее в 14/8 раза». Такая примерная оценка изменения величины полезна не только для лучшего определения вида зависимости и получения верного ответа, но и для подготовки к решению задач на сложное тройное правило.
264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?
265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?
266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?
2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?
267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?
2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько дней выполнит то же задание бригада из 5 человек?
Задачи 276 (1, 2) можно решить, вычислив расстояние между городами, и объем всей работы в «человеко-днях».
268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель на скорости 50 км/ч?
269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?
Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и обратную пропорциональность, составлять пропорции и решать их. Если эта цель будет достигнута раньше, то нет нужды решать все задачи полностью — решения части из них можно доводить до составления пропорций или отложить для повторения.
Если до пропорций десятичные дроби уже изучены, как это происходит в учебнике Н.Я. Виленкина и др., то самое время использовать задачи из учебника. Если же учащиеся хорошо освоили применение пропорций, то им можно показать способ решения тех же задач без пропорций, показанный выше. Применим его к задаче 264.
Количество сукна увеличилось в 12/8 раза, значит, денег во второй раз было в 12/8 раза больше, на них можно купить ситца в 12/8 раза больше:
x = 63·12/8 = 94,5.
270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.
1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?
2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?
271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.
1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?
2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?
272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?
273.* а) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 3 дня?
б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?
274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?
275. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?
276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.
277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая – из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?
2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?