Задачи на движение
Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче 81 (1) следует найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3·4 + 3·5), вынести общий множитель за скобки и задаться вопросом: что показывает сумма 4 + 5? После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие скорости сближения.
80.о 1) Пешеход за 3 ч прошел 12 км. Сколько километров он проходил в час? Какова скорость пешехода?
2) Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какой путь он проедет за 3 ч?
3) За сколько часов поезд прошел 180 км, если его скорость 60 км/ч?
4) 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шел на высоте 250 м и преодолел все расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче лишние?
81. 1) Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления.)
2) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин.
3) Два поезда вышли одновременно из одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
82. 1) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения.) Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
2) Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
83. 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
2) Старинная задача. Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст1, а другой человек идет навстречу ему из другого города и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?
84. 1) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?
2) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
3) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Через сколько часов они будут находиться друг от друга на расстоянии 27 км?
85. 1) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?
2) Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
86. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
87. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Чуть позже такие задачи учащиеся будут решать с помощью уравнения, с помощью которого гораздо легче добраться до ответа, но мы предлагаем поискать со школьниками арифметическое решение задачи, так как уверены, что в обучении не всегда легче — значит полезнее. Ведь еще легче заглянуть в справочник и найти там ответ на вопрос задачи, и не в верстах, а в километрах. Думается, читатель и сам уверен, что в школе задачи решают совсем не для того, чтобы узнать расстояние от Москвы до Твери.
Попробуйте подвести ребят к такому решению.
1) 26·2 = 52 (версты) — на столько второй поезд отстал от первого;
2) 39 – 26 = 13 (верст) — на столько второй поезд отставал за 1 ч от первого поезда;
3) 52:13 = 4 (ч) — столько времени был в пути первый поезд;
4) 39·4 = 156 (верст) — расстояние от Москвы до Твери.
88. 1) Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встретятся?
2) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
89. 1) Задача Алькуина. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
2) Старинная задача. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.
3) Старинная задача. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько прыжков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно сорока прыжкам собаки и пять прыжков собаки равны шести прыжкам зайца? (Считайте, что собака и заяц делают прыжки одновременно.)
Уровень сложности задачи 90 превосходит возможности большинства пятиклассников. Однако необычность условия (дана лишь одна величина) и неожиданность ответа позволяют дать учащимся запоминающуюся иллюстрацию силы математических методов, а также формировать у них доказательные умения.
90.* Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?
На первом этапе достаточно подвести школьников к идее решения этой задачи с различными недостающими данными (собственная скорость и скорость течения) — это может быть хорошим домашним заданием. На следующем уроке можно будет подвести итог. Только не нужно делать вид, что совпадение результатов при различных значениях собственной скорости и скорости течения что-либо доказывает. Оно лишь подтверждает предположение «время движения туда и обратно одинаково». Если учащиеся хорошо освоили задачи 76–77, то им можно показать общее рассуждение, являющееся доказательством:
Скорость удаления лодки и шляпы равна vпр. т.+ vт. = vс.
Скорость сближения лодки и шляпы равна vпо т.– vт. = vс.
Удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит, время движения туда и обратно одинаково. Проверить понимание этого материала можно, предложив учащимся решить ту же задачу, но при условии, что папа и сын сначала плыли по течению, а потом против течения реки.
Заметим, что физики решают эту задачу еще проще. Они считают, что термин «собственная скорость» некорректен, так как скорость имеет смысл только в какой-то системе отсчета. Они считают, что относительно воды шляпа неподвижна, а лодка, плывущая с постоянной относительно воды скоростью, удаляется от шляпы и сближается с ней за одно и то же время — за 15 мин. Смотрите также более сложную задачу 115 аналогичного содержания.
Отметим, что пониманию задачи 90 может помочь такой вопрос: «Некто шел вдоль движущегося вагона поезда 30 с. Сколько секунд он затратит на обратный путь, если будет двигаться с той же скоростью относительно вагона?»
1 Сведения о старинных единицах измерения приведены в Справочной таблице.