Умножение и деление обыкновенных дробей
181. 1) Стороны прямоугольника 3/5 м и 2/3 м. Вычислите его площадь.
2) Каждый день турист проходит 1/3 намеченного маршрута. Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 1/2 дня; за 3/4 дня?
3) Метр ткани стоит 9 р. 60 к. Сколько стоит 3/4 м; 2/3 м ткани?
4) Старинная задача. Некто за 3/4 аршина сукна заплатил 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?
182. Старинная задача. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?
183. а) Найдите 2/5 числа 60.
б) Найдите 3/7 числа 42.
После того как учащиеся научатся умножать дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи 183 (а) на нахождение части числа: 60:5· 2 = 60/5· 2 = 60· 2/5 = 60·2/5
Сформулируем новое правило нахождения части числа:
Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно число умножить на данную дробь.
Это правило учащиеся также могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти 2/5числа 60, можно число 60
умножить на 2/5.
184. Что больше: 1) 3/5 от 45 м или 4/5 от 30 м?
2) 2/3 от 3/5 м или 3/5 от 2/3 м?
185. 1) Уменьшите 90 р. на 1/3 этой суммы.
2) Увеличьте 15 р. на 2/5 этой суммы.
Решение задачи 185 (1) учащимся знакомо. Его полезно записать по действиям:
1) 90 ·1/3= 30; 2) 90 – 30 = 60;
Потом составить выражение 90 – 90 ·1/3 для решения задачи; вынести общий множитель 90 за скобки и выяснить с учащимися смысл действия 1 – 1/3. Теперь можно рассмотреть второй способ решения:
1) 1 – 1/3= 2/3; 2) 90· 2/3 = 60.
Задача 185 готовит учащихся к решению соответствующих задач на проценты, а понимание смысла действий 1 – 1/3 и 1 + 2/5 потребуется им при решении многих задач на дроби и проценты. Аналогичные задачи легко составят и сами учащиеся, только желательно пользоваться «именованными» числами, чтобы не провоцировать действия типа 90 – 1/3 (см. № 185 (1)).
186.* Число 200 увеличили на 1/10 этого числа, полученный результат уменьшили на его 1/10. Получилось ли снова число 200? Ответ обосновать.
Задача 186 знакомит учащихся с ситуацией, с которой им лучше освоиться до того момента, когда она встретится при решении задач на проценты.
187. а) Найдите число, 2/5 которого равны 60.
б) Найдите число, 3/11 которого равны 99.
После того как учащиеся научатся делить дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи 187 (а) на нахождение числа по его части:
60:2· 5 = 60/2· 5 = 60· 5/2 = 60· 5/2= 60: 2/5.
Сформулируем новое правило нахождения числа по его части:
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на данную дробь.
И это правило учащиеся могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти число, 2/5которого равны 60, можно 60 разделить на 2/5.
188. 1) За 4 дня похода израсходовали 2/5 всех запасенных продуктов. На сколько дней было запасено продуктов?
2) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составляли 3/5 всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке?
189. а) Число уменьшили на 3/10 этого числа, получилось 210. Найдите число.
б) Задумали число, увеличили его на 1/7 задуманного числа и получили 56. Какое число задумали?
190. Столб вкопали в землю на 2/9 его длины. Он возвышается над землей на 1 м 40 см. Определите длину столба.
191. Половина книг школьной библиотеки — учебники. Шестая часть всех учебников — учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики?
192. К классе 18 мальчиков и 16 девочек, 2/9 мальчиков и 1/4 девочек занимается в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке?
193. а) У мальчика было 24 р. Он потратил 1/4 этой суммы и 1/2 остатка. Сколько денег он потратил?
б) Туристы прошли за три дня 48 км. В первый день они прошли 1/4 всего расстояния, а во второй день 5/9 остатка. Сколько километров они прошли в третий день?
194. 1) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал 2/5, после обеда — 1/3 привезенных арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин?
2) Некто израсходовал половину своих денег и 1/3 остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально?
195. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третью долю этого множества, Вишну — пятую и Солнцу — шестую; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
196. Старинная задача. Капитан на вопрос «Сколько людей имеет он в своей команде?» ответил, что 2/5 его команды в карауле, 2/7 в работе, 1/4 в лазарете, да еще 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды.
197.* Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 ч утра. В 12 ч выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?
198.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В нахoдятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в два часа 7 миль, В — в три часа 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдет А до встречи с В?
199. Задача Герона Александрийского (I в.). Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
200. Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Один учитель может проверить их за 15 ч, другой — за 10 ч, третий — за 6 ч. За сколько часов они проверят тетради втроем?