Сложные задачи на прямую и обратную пропорциональность
Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся, насколько вы сумеете организовать учебную деятельность школьников, способствующую их развитию. Первые задачи хороши для фронтальной работы с классом,. После работы с ними учащиеся выучиваются лучше различать прямую и обратную пропорциональность, испытывают меньше затруднений с задачами на простое тройное правило.
278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания. Наводящие вопросы даны в разделе «Ответы и советы». Записав кратко условие задачи:
кур дней яиц
3 3 3
12 12 х,
в ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). В результате число яиц равно:
x = 3·4·4 = 48.
279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.
а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?
б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?
в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?
281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?
б) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?
282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?
283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?
286.* У хозяйки спросили:
— Хорошо ли несутся Ваши куры?
— Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.
Сколько яиц несут куры в день?
287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека — они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек — они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?
б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?
288.* Старинные задачи. а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.
289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.
а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. Насколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?
290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении — в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.
Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.
96 26 40 12 20 12
х 39 80 10 10 18
Длина канала увеличится от
увеличения числа человек в 39/26 раза, х = 96·39/26
от увеличения числа дней в 80/40 раза х = 96·39/26·80/40
и от уменьшения ширины в 20/10 раза; х = 96·39/26·80/40 .
Длина канала уменьшится от
уменьшения числа часов в 12/10 раза и х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10
и от увеличения глубины в 18/12 раза: х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10:18/12 .
Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.