Сложные задачи на проценты
Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Шутливое отражение в ней политических страстей того времени не должно отвлечь учащихся от важного вопроса: что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50 % (на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.
344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?
Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.
345.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?
2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?
346.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
347.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?
Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.
348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?
349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?
350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?
351.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?
352.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
353.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
354.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?
355.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?
356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).
Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.
357.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.
358.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
Объясняя решение задачи 358 (а), воспользуемся следующей иллюстрацией.
Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25 % массы сушеных яблок?
359.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?
360.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?
361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?
362.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?
363.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?
364.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?
365.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?
I способ. Число мальчиков составляют 80 % от числа девочек (100 %). Определим, сколько процентовсоставляют 100 % от 80 % :
100/80 = 100×100/80 % = 125 %.
II способ. Число мальчиков (m) составляют 80 % от числа девочек (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.
III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет 10/8 или 125 % от числа мальчиков.
366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150% от вложенной суммы; в течение полугода — 130% годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получитьнаибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?
На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых (через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 =
= 65 (%) от вложенной суммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом через год мы получим:
100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).
Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.
367.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
368.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.
369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.
370.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?
371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?
372.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.
373.* Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?
374.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?
375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?
376.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько летвложенная сумма удвоится?
377.* В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?
Если число мальчиков принять за 100 %, то число девочек от него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет 60×100/160 = 37,5 (%). Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначитьбуквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6x, а число всех участников секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:
0,6x×100/1,6x = 37,5 (%).
- В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.
Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.
Учебное время теперь составляет 5/6×40/45 = 20/27 от прежнего. Потеря составила 1 – 20/27 =
= 7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9 %.
379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?
б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?
Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а/1,14 = 5/6 а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах):
a: 5/6 a ·100 = 120 (%).
Торговец планировал получить 120 – 100 = 20 % дохода.