Разные задачи

25.04.2017

Раздел 1.7 включает в себя задачи, многие из которых если и решают теперь в 5–6 классах, то только с помощью уравнения (см. задачи 102, 105 и др.), а также задачи, которые являются типовыми задачами из предыдущих разделов или сводятся к ним. «Цепочка» задач (94) дает хорошую иллюстрацию для метода решения «с конца». Здесь же мы приводим задачи 97–99, которые и сами учителя привыкли решать с помощью уравнения. Мы предлагаем решать задачи этой серии арифметически, так как, на наш взгляд, мысленное манипулирование предметами и величинами, о которых идет речь в условии задачи, «проигрывание» задачной ситуации способствуют развитию воображения и интуиции учащихся в большей степени, чем формальные действия с иксами в процессе составления и решения уравнения. К первой задаче такого рода мы даем рекомендации в разделе «Ответы и советы».

91. Задача С.А. Рачинского. В школе равное число девочек и мальчиков. Я принес 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принес столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принес?

92. Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

93. В бочке было 40 ведер воды. Когда из нее отлили несколько ведер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько ведер отлили?

94.* 1) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого было на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке.

2) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько было у Светы. После этого у девочек оказалось яблок поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

3) Старинная задача. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий дает каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

95. 1) A, B, и C сыграли три партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно A, B и C и в результате у всех троих оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них в начале?

2) Старинная задача. A, B, C и D сыграли четыре партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно A, B, C и D и в результате у всех четверых оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них в начале?

96.* Старинная задача (Индия, III–IV вв.). Из четырех жерт-вователей второй дал вдвое больше первого, третий втрое больше второго, четвертый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?

97.* 1) Мама посчитала, что если дать детям по 4 конфеты, то 3 конфеты останутся лишними. А чтобы дать по 5 конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

2) Если в вазы поставить по 5 роз, то две розы останутся лишними. А чтобы поставить по 6 роз, четырех роз не хватает. Сколько было ваз?

98.* 1) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей
останутся лишними; если выдать по 3 тетради, то 6 тетрадей не хватит. Сколько было учащихся и сколько тетрадей?

2) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырех стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд, то 12 стульев останется. Сколько было стульев?

99.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает лишь по два, и у него еще остается три. Сколько бедных?

Задачи 100–108 примыкают к предыдущим и объединены с ними общей идеей решения, связанной с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. Их можно назвать задачами «на предположение», хотя некоторые из них в традиционной методике имели свои устоявшиеся названия: задача 105 (б) — «на синее и красное сукно», задача 106 (2) — «на смешение II-го рода». К первым из задач этой серии начало рассуждения дано в разделе «Ответы и советы». Что же касается названий типов задач, то зачастую они были больше связаны с фабулой задачи, а не с арифметической ситуацией, отраженной в ней. Например, задачу 102 можно переформулировать так, чтобы она превратилась в задачу «на синее и красное сукно» или «на смешение II-го рода»:

— На 94 р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2 р., а за аршин красного сукна — по 4 р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

— Смешали 35 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 94 р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 4 р., а фунт второго сорта — 2 р.?

100.* 1) Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец (рис. 3). У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

2) В детском саду имеется 20 велосипедов — трехколесных и двухколесных. У всех велосипедов 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду?

Рис. 3 

101.* Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 р., а каждый мальчик — по 5 р., то все 30 учащихся класса соберут 122 р. Сколько в классе мальчиков?

102.* Старинная задача (Китай). В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Задачу 102 можно было бы решить аналогично предыдущим, но не менее интересно другое рассуждение, найденное нами у старых мастеров методики математики и вызывающее у детейживейшее участие в решении задачи. Опишем примерный диалог учителя с классом.

— Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 70 ног (35·2 = 70).

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 24 (94 – 70 = 24).

— Сколько же кроликов?

— 12 (24 : 2 = 12).

— А фазанов?

— 23 (35 – 12 = 23).

В скобках записаны действия, которые можно делать на доске по ходу диалога. После его завершения можно предложить учащимся записать решение задачи в тетрадях «с пояснениями». Разумеется, здесь трудно кратко и точно пояснить первое действие.

103.* Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

104.* Старинная задача. Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?

105.* Из рассказа А.П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3 р.?

106.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.

1) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Что стоит фунт смеси?

2) Из двух сортов чая составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чая стоит 2 р. 85 к.

107.* Старинная задача. Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?

108.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого по 10 алтын. Сколько старых и молодых баранов купил он?

Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.

Придет старых 100, а молодых 12, а изобрази сице:

                               46 копеек за старого

                               30        за молодого

                               16

       112                                                                             4960

         30                                Вся цена                               3360

  3360                                                                           1600

                                           :

              бери через 16      :              100 толико старых.

Приведенное решение можно объяснить так. Пусть сначала за всех баранов заплатили как за молодых — по 30 к., т. е. 112·30 = 3360 к. За каждого старого барана платили на 46 – 30 = 16 к. больше, чем за молодого, а за всех вместе на 4960 – 3360 = 1600 к. больше, чем за молодых. Тогда старых баранов было 1600:16 = 100, а молодых 112 – 100 = 12.

В тетрадях это решение можно записать так:

1) 112·30 = 3360 (к.) — стоят 112 молодых баранов;

2) 4960 – 3360 =1600 (к.) — надо доплатить за старых баранов;

3) 46 – 30 = 16 (к.) — на 16 к. старый баран дороже молодого;

4) 1600 : 16 = 100 (бар.) — купили старых баранов;

5) 112 – 100 = 12 (бар.) — купили молодых баранов.

109. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Мы не ошиблись, включив в сборник задачи 110–111, решаемые обычно с помощью системы уравнений. Наша цель заключается в том, чтобы задолго до формальных манипуляций с уравнениями учащиеся получили опыт аналогичных действий с верными равенствами. Например, запишем коротко условия задачи 111:

3 у + 4 г = 2500;

4 у + 3 г = 2400.

Что теперь можно определить? Например, вес 7 утят и 7 гусят (4900 г), затем вес 1 утенка и 1 гусенка (700 г), а потом вес 3 утят и 3 гусят (2100 г). Сравнение полученного результата с первым условием показывает, что 1 гусенок весит 400 г. В процессе решения пришлось складывать верные равенства, умножать и делить их правую и левую части на одно и то же число. И это не формальные манипуляции с переменными, обоснования которым даются иногда с помощью графиковфункций, а вполне содержательные действия с конкретными величинами.

110.* 1) За краски и 2 кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть 21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

2) За 2 тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., за тетрадь и 2 ручки 9 р. 93 к. Сколько стоят отдельно тетрадь и ручка?

3) За 3 линейки и угольник заплатили 11 р. 20 к., за линейку и 3 угольника 22 р. 40 к. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник?

111.* Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок?

Задачи 112–113 содержат лишние данные и имеют целью подготовку школьников к решению задач на совместную работу («на бассейны»). Аналогичные задачи, но без указания площади поля, объема бака и т. п. включены в § 2 «Дроби». Их сходство с рассматриваемыми задачами будет не только в фабуле и в плане решения, но и в постановке вопросов и выборе действия. Рекомендуем к таким задачам отнестись со всем вниманием.

112. а) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе?

б) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

в) Скорый поезд проходит расстояние 900 км между двумя городами за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

г) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

113. а) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение той же работы требуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе?

б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы требуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков?

114.* 1) Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова  весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вова?

2) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго — 85 р.; сложившись без третьего — 80 р.; сложившись без четвертого — 75 р. Сколько у кого денег?

3) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвертого и седьмого — 4 годам, седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому?

Рассмотрим два способа решения задачи 114 (1).

I способ. Сравнение двух первых условий показывает, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг. Боря весит (85 –  1):2 = 42 кг, а Алеша, Боря и Вова вместе весят
42 + 83 = 125 кг.

II способ. Если записать краткое условие задачи так:

А + Б = 82

А + В = 83

В + Б = 85

и сложить левые и правые части равенств, то получим:

2(А + Б + В) = 250,

откуда следует, что

А + Б + В = 125.

Также двумя способами можно решить и задачу 114 (2).

I способ. Из двух первых условий следует, что у II-го купца было на 5 р. больше, чем у I-го. Из второго и третьего условий следует, что у III-го купца было на 5 р., больше, чем у II-го. Если бы III-й купец дал I-му 5 р., то у I-го, II-го и III-го денег стало бы поровну — по 75:3 =
= 25 р. Значит, у I-го купца было 25 – 5 = 20 р., у II-го — 25 р., у III-го — 25 + 5 = 30 р., у IV-го — 30 + 5 = 35 р.

II способ. Запишем коротко условие:

II + III + IV = 90

III + IV + I = 85

IV + I + II = 80

I + II + III = 75

и сложим левые и правые части равенств:

3(I + II + III + IV) = 330,

откуда

I + II + III + IV = 110.

Тогда у I-го купца было 110 – 90 = 20 р., у II-го купца 110 – 85 = 25 р., у III-го 110 – 80 =
= 30 р., у IV-го купца 110 – 75 = 35 р.

115.* Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу, повернул обратно и догнал флягу у второго моста. Найти скорость течения реки, если расстояние между мостами 1 км.

116. Два поезда движутся навстречу друг другу — один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Какова длина первого поезда?

117. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 5 поленьев, вторая 4 полена, а у третьей дров не было — она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости?

При решении задачи 117 учащиеся чаще всего не обращают внимание на то, что яблоки были даны лишь за 3 полена.

118. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости за 3 мин. Какова длина туннеля?

119.* 1) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?

2) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

3) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

Приведем «длинное» решение задачи 119 (1) без пояснений:

1) 30 : 10 = 3 (ч);                          4) 10 + 5 = 15 (км/ч);

2) 5·3 = 15 (км);                           5) 15 : 15 = 1 (ч);

3) 30 – 15 = 15 (км);                    6) 3 + 1 = 4 (ч).

Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с удвоенного расстояния. Тот же ответ получится, если переформулировать условие задачи следующим образом:

— Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

1) 30·2 = 60 (км);          

2) 10 + 5 = 15 (км/ч);

3) 60:15 = 4 (ч).

Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к упрощению ее решения. В задачах 119 (2, 3) «длинное» решение в натуральных числах вообще невозможно.

120. На лугу паслось несколько коров. У них ног на 24 больше, чем голов. Сколько коров паслось на лугу?

Наконец, две последние задачи, решения которых содержат один и тот же шаг — найти два числа по их сумме и разности.

121. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения».

Когда родился учитель математики?

122. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого.

Задачи на движение

25.04.2017

Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче 81 (1) следует найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3·4 + 3·5), вынести общий множитель за скобки и задаться вопросом: что  показывает сумма 4 + 5? После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие скорости сближения.

80.^о 1) Пешеход за 3 ч прошел 12 км. Сколько километров он проходил в час? Какова скорость пешехода?

2) Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какой путь он проедет за 3 ч?

3) За сколько часов поезд прошел 180 км, если его скорость 60 км/ч?

4) 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шел на высоте 250 м и преодолел все расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче лишние?

81. 1) Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления.)

2) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин.

3) Два поезда вышли одновременно из одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?

82. 1) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения.) Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

2) Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.

83. 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

2) Старинная задача. Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст1, а другой человек идет навстречу ему из другого города и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

84. 1) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

2) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

3) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Через сколько часов они будут находиться друг от друга на расстоянии 27 км?

85. 1) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?

2) Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

86. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?

87. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Чуть позже такие задачи учащиеся будут решать с помощью уравнения, с помощью которого гораздо легче добраться до ответа, но мы предлагаем поискать со школьниками арифметическое решение задачи, так как уверены, что в обучении не всегда легче — значит полезнее. Ведь еще легче заглянуть в справочник и найти там ответ на вопрос задачи, и не в верстах, а в километрах. Думается, читатель и сам уверен, что в школе задачи решают совсем не для того, чтобы узнать расстояние от Москвы до Твери.

Попробуйте подвести ребят к такому решению.

1) 26·2 = 52 (версты) — на столько второй поезд отстал от первого;

2) 39 – 26 = 13 (верст) — на столько второй поезд отставал за 1 ч от первого поезда;

3) 52:13 = 4 (ч) — столько времени был в пути первый поезд;

4) 39·4 = 156 (верст) — расстояние от Москвы до Твери.

88. 1) Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встретятся?

2) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?

89. 1) Задача Алькуина. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?

2) Старинная задача. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

3) Старинная задача. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько прыжков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно сорока прыжкам собаки и пять прыжков собаки равны шести прыжкам зайца? (Считайте, что собака и заяц делают прыжки одновременно.)

Уровень сложности задачи 90 превосходит возможности большинства пятиклассников. Однако необычность условия (дана лишь одна величина) и неожиданность ответа позволяют дать учащимся запоминающуюся иллюстрацию силы математических методов, а также формировать у них доказательные умения.

90.* Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

На первом этапе достаточно подвести школьников к идее решения этой задачи с различными недостающими данными (собственная скорость и скорость течения) — это может быть хорошим домашним заданием. На следующем уроке можно будет подвести итог. Только не нужно делать вид, что совпадение результатов при различных значениях собственной скорости и скорости течения что-либо доказывает. Оно лишь подтверждает предположение «время движения туда и обратно одинаково». Если учащиеся хорошо освоили задачи 76–77, то им можно показать общее рассуждение, являющееся доказательством:

Скорость удаления лодки и шляпы равна v_{пр. т.}+ v_т. = v_с.

Скорость сближения лодки и шляпы равна v_{по т.}– v_т. = v_с.

Удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит, время движения туда и обратно одинаково. Проверить понимание этого материала можно, предложив учащимся решить ту же задачу, но при условии, что папа и сын сначала плыли по течению, а потом против течения реки.

Заметим, что физики решают эту задачу еще проще. Они считают, что термин «собственная скорость» некорректен, так как скорость имеет смысл только в какой-то системе отсчета. Они считают, что относительно воды шляпа неподвижна, а лодка, плывущая с постоянной относительно воды скоростью, удаляется от шляпы и сближается с ней за одно и то же время — за 15 мин. Смотрите также более сложную задачу 115 аналогичного содержания.

Отметим, что пониманию задачи 90 может помочь такой вопрос: «Некто шел вдоль движущегося вагона поезда 30 с. Сколько секунд он затратит на обратный путь, если будет двигаться с той же скоростью относительно вагона?»

1 Сведения о старинных единицах измерения приведены в Справочной таблице.

Задачи на движение по реке

25.04.2017

Развитием линии задач раздела 1.4 являются задачи на движение по реке, не вызывающие обычно каких-либо затруднений у пятиклассников. Опыт, полученный ими при решении задач 70–75 можно обобщить при работе с задачей 76, в которой возникают сложности только в последнем задании, где требуется определить скорость течения реки по двум скоростям — по течению и против течения реки. Для успешного усвоения этого материала следует показать, что скорости по течению и против течения — суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения. Будет еще лучше, если к этому выводу учащиеся придут самостоятельно. Ведь ситуации, в которых школьники находят возможность для применения ранее полученных знаний, способствуют их развитию. Когда же отрицательные числа будут изучены, этот факт будет просто доказать:

v_{по т.} – v_пр.т. = (v_с. + v_т.) – (v_с. – v_т.) = … = 2v_т.

 

А пока можно обойтись ссылкой на уже известное правило нахождения двух чисел по их сумме и разности или на графическую иллюстрацию:

70.^о 1) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

2) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течет река?

3) Скорость катера по озеру (в стоячей воде) 18 км/ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч?

4) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч?

71. Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?

72. Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите:

1) скорость катера по течению и против течения реки;

2) путь катера по течению реки за 3 ч;

3) путь катера против течения реки за 5 ч.

73. 1) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?

2) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если ее собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

74. Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

75. а) Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если ее собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

76. Определите скорости и заполните таблицу:

	vс.	vт.	vпо т.	vпр. т.
1.	12 км/ч	4 км/ч
2.	25 км/ч		28 км/ч
3.	24 км/ч			20 км/ч
4.		5 км/ч	17 км/ч
5.		3 км/ч		16 км/ч
6.			48 км/ч	42 км/ч

77.* Определите, какая скорость получится в результате:

     1) v_с. + v_т. ;                    4) v_{пр. т.} + 2v_т. ;

     2) v_с. – v_т. ;                           5) v_{по т.} – 2v_т. ;

          3) v_{пр. т.} + v_т. ;               6) v_{по т.} – v_{пр. т.}

78. 1) Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения.

2) Катер проплыл 72 км между пристанями по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

 

79. Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения? 

Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности

25.04.2017

Первые задачи раздела 1.4 предполагают мысленные эксперименты с величинами. Например, «Уменьшим число тетрадей в первой пачке на 10, тогда в обеих пачках тетрадей станет поровну…». Или: «Если 4 мальчика выйдут из класса, то девочек и мальчиков в классе станет поровну…». После решения задач 60–63 нужно отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и разность двух неизвестных чисел; чтобы их найти, нужно из их суммы вычесть разность — получится удвоенное меньшее число.

Возможно и иное решение. Для задачи 60 (2) оно выглядит так. Уравняем число тетрадей в пачках, переложив половину разницы из большей пачки в меньшую. Тогда тетрадей в пачках станет поровну — по 70:2 = 35. Вернем 5 тетрадей назад, получим 35 – 5 = = 30 тетрадей во второй пачке.

К этому способу решения можно подготовить учащихся, решив задачи 69 (1–2). Но делать это лучше не со всеми учащимися и только тогда, когда будет хорошо освоен первый способ решения.

Учащиеся часто предлагают неверные решения. Например, задачу 60 (2) они иногда решают так:

1) 70 : 2 = 35 (тетр.);     2) 35 + 10 = 45 (тетр.).

Желая научить школьников проверять найденное решение, нужно обязательно учить их определять, удовлетворяет ли оно условию задачи. Специально придумывать ситуации для такого обучения не приходится, учащиеся создают их довольно часто. Ими нужно только умело пользоваться. Чтобы научить их искать свои ошибки, нужно дать им возможность сначала научиться искать ошибки в чужих решениях.

60. 1) В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то тетрадей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?

2) В двух пачках 70 тетрадей — в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей во второй пачке (рис. 2)?  

	I		II

Рис. 2

61. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе — 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

62. а) Мама дала 16 р. сыну и дочери. Дочери она дала на 4 р. больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?

б) Саша собрал на 5 кг яблок больше, чем Коля, а вместе они собрали 43 кг яблок. Сколько килограммов яблок собрал каждый?

63. а) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

б) В классе 36 учащихся. Девочек на 4 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

64. 1) Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными. Найдите эти числа.

2) Сумма двух чисел 350. Одно из них больше другого на 10. На сколько нужно уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Найдите эти числа.

65. а) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

66. а) Сумма двух чисел 96, разность 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа.

67. 1) Периметр прямоугольника равен 48 см, его длина на 4 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

2) Периметр прямоугольника равен 54 см, его длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

68. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого.

1) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

2) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько овец у каждого?

69. 1) На двух полках было поровну книг. С первой полки сняли 10 книг и поставили на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?

2) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках?

Задачи «на части»

25.04.2017

Задачи 47–58 — это задачи «на части». В первых из них речь о частях идет в явном виде. При их решении создается основа для решения задач 54–58 на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

47. Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара.

1) Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?

2) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахара?

48. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.

1) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержится в 350 г сплава?

2) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?

49. При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько центнеров ржи смололи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?

50. а) Купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части и сливы — 2 части массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности купили?

б) Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы 5 частей массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов?

51.* Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.

52.* 1) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г, и на изготовление партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория?

2) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг?

53.^о 1) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца?

2) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца?

54. 1) Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку (рис. 1)?

2) На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?  

	в клетку
			в линейку

Рис. 1

При решении задачи 54 (1) лучше опираться на схематический рисунок 1, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями.

Рассмотрим решение этой задачи «с пояснениями».

Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все тетради;

2) 60:3 = 20 (тетр.) — приходится на 1 часть;

3) 20·2 = 40 (тетр.) — приходится на 2 части (тетрадей в клетку).

С целью развития мышления и речи школьников советуем  иногда давать им задание решить задачу «с вопросами». Для задачи 54 (2) такое решение имеет вид:

1) Сколько частей приходится на все книги?

                   1 + 3 = 4 (части)

2) Сколько книг приходится на 1 часть (стояло на II полке)?

                   120:4 = 30 (книг)

3) Сколько книг стояло на I полке?

                   30·3 = 90 (книг).

55. а) За рубашку и галстук папа заплатил 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?

б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 спальных места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?

56. 1) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 9 р. Сколько стоит календарь?

2) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?

3) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?

Задача 56 (2) взята из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома», дающей довольно точное описание характерных ошибок учащихся и самой процедуры поиска решения.

«Прочитал я задачу и даже смех разобрал. «Вот так задача! — думаю. — Чего тут не понимать? Ясно. 120 надо поделить на 2, получится 60. Значит, девочка сорвала 60 орехов. Теперь нужно узнать, сколько мальчик: 120 отнять 60, тоже будет 60. Только как же это так? Получается, что они сорвали поровну, а в задачнике сказано, что девочка сорвала в 2 раза меньше орехов. Ага! — думаю. — Значит, 60 надо поделить на 2, получится 30. Значит, мальчик сорвал 60, а девочка 30 орехов». Посмотрел в ответ; а там: мальчик 80, а девочка 40».

Витя смог решить задачу лишь тогда, когда нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя карманами.

«Все 120 орехов теперь лежали у них в трех карманах: в двух карманах у мальчика и в одном кармане у девочки, а всего, значит, в трех. И вдруг у меня в голове, будто молния, блеснула мысль: «Все 120 орехов надо делить на три части!»

Надо сказать, что первое действие, к которому с таким трудом пришел Витя Малеев, вызывает большие трудности у учащихся, этот шаг решения задач «на части» требует специальной отработки, которая будет тем успешнее, чем активнее учащиеся опираются на наглядные образы.

57. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадeй в линейку. Причем их было на 18 больше, чем тетрадeй в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?

б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?

58. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?

б) Книга дороже общей тетради в 3 раза или на 6 р. Сколько стоит книга?

59. Задача С.А. Рачинского. Я провел год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?

Умножение и деление натуральных чисел

25.04.2017

Задачи 18–23 предназначены для повторения учащимися связи отношений «больше в» и «меньше в» с умножением и делением. В большинстве из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с отношениями «больше на» и «меньше на».

18. а) Число 48 увеличьте на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза.

б) Число 48 увеличьте в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3.

19. а) В первый день туристы прошли 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня?

б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором в 3 раза больше. Сколько метров проволоки в двух мотках?

20. а) Число 64 уменьшите на 8, полученный результат уменьшите в 4 раза.

б) Число 64 уменьшите в 4 раза, полученный результат уменьшите на 8.

21. а) Велосипедисты проехали от города А до города В 168 км, а от города В до города С — в 3 раза меньше. Сколько всего километров проехали велосипедисты?

б) Девочка прочитала 56 страниц и ей осталось прочитать в 4 раза меньше страниц, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге?

22. Маме 36 лет, сыну 12, a дочери 4 года. Во сколько раз дочь моложе матери? Во сколько раз брат старше сестры?

23. 1) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилaсь коллекция?

2) Было 420 р., потратили 360 р. Во сколько раз уменьшилась
сумма?

24. Старинная задача. С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин[1] тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

25. а) На овощную базу привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой, потом еще на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сколько всего ящиков помидоров привезли на базу?

б) Токарь за 1 ч обтачивает 12 деталей, а другой токарь — 11 деталей. Над выполнением задания первый работал 2 ч, а потом второй 3 ч. Сколько деталей они обточили вместе?

26. а) Девочка купила 2 марки по 5 р. и 3 открытки по 6 р. Какую сдачу она должна получить с 50 р.?

б) В швейной мастерской было 12 кусков материи по 40 м и 8 кусков материи по 30 м. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м?

27.^о 1) За 8 марок заплатили 40 р. Сколько стоит 1 марка?

2) Одна линейка стоит 4 р. Сколько линеек купили на 84 р.?

3) За 1 ч поезд прошел 60 км. За сколько часов он пройдет 240 км, если будет идти с той же скоростью?

4) За 3 ч велосипедист проехал 36 км. Сколько километров он проезжал за 1 ч?

28.^о Дачник пришел от своей дачи на станцию через 12 мин после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин меньше, то пришел бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живет дачник?

Тратя на каждый километр на 3 мин меньше, дачник мог бы сэкономить 12 мин на расстоянии 12:3 = 4 км. Он живет в 4 км от станции.

С задачей 29 (1) связан поучительный диалог, рассказанный нашей коллегой и отражающий трудности, с которыми сталкиваются некоторые учащиеся. Учительница объясняет решение этой задачи отстающей ученице:

— Здесь надо 72 делить на 8.

— Нет, — возражает ученица, — когда «на сколько», надо вычитать.

В задачах 29 (2, 3) «во сколько» и «осталось» не требуют деления и вычитания; здесь имеются лишние условия.

29.^о 1) На каждую телегу грузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка картофеля?

2) В некоторые из 40 пакетов насыпали по 2 кг сахарного песку. Осталось 10 пустых пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарного песку?

3) В швейной мастерской за месяц израсходовали 350 м материи, осталось 2 куска по 60 м. Сколько метров материи осталось?

Задачи 30 (1–4) «с подвохом». При их решении учащиеся часто начинают вычислять до того, как хорошо обдумают их условие.

30. 1) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?

2) Чтобы сварить яйцо всмятку, мама держит его в кипящей воде 2 мин. Сколько минут потребуется, чтобы сварить всмятку 8 яиц?

3) У Алеши, Бори и Васи вместе 120 марок. У Алеши столько, сколько у Бори и Васи вместе. Сколько марок у Алеши?

4) Коля и Миша вместе с папой поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля?

31. Задача С.А. Рачинского. Родник в 24 мин дает бочку воды. Сколько бочек воды дает родник в сутки?

32. а) В 12 коробках 144 карандаша. Сколько карандашей в 15 таких же коробках?

б) Автомат на кондитерской фабрике заворачивает 1245 конфет. Сколько конфет он завернет за 5 ч?

33. На некотором участке железной дороги меняют старые рельсы длиной 8 м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

34. а) Для поездки трех взрослых и двух детей по железной дороге купили билеты общей стоимостью 60 р. Сколько стоит детский билет, если билет для взрослого стоит 16 р.?

б) Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 р. Сколько стоит 1 кресло, если 1 стул стоит 86 р.?

35. В мягком вагоне 18 спальных мест, а в плацкартном вагоне 54 места. В составе скорого поезда 1 мягкий вагон, 6 плацкартных и 11 купейных. Сколько спальных мест в купейном вагоне, если во всех вагонах состава 738 спальных мест?

36. а) Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему надо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

б) Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 21 км. За сколько дней он может вернуться обратно, если будет проезжать в день по 35 км?

37. а) Маме 36 лет, она на 31 год моложе бабушки и в 6 раз старше дочери. Сколько лет каждой?

б) Папе 34 года, он в 2 раза моложе дедушки и на 29 лет старше сына. Сколько лет каждому?

а) Завод по плану должен изготовить 7920 приборов за 24 дня. За сколько дней завод выполнит это задание, если будет изготавливать в день на 30 приборов больше, чем намечено по плану?

б) Токарь должен за 7 ч обточить 84 детали. Применяя усовершенствованный резец, он может обтачивать в час на 2 детали больше. На сколько часов раньше срока токарь обточит 84 детали, применяя усовершенствованный резец?

39. 1) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы?

2) Первый рабочий за 1 ч делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько деталей, сколько первый за 5 ч. За сколько часов они сделают 216 деталей при совместной работе?

40. На изготовление 2100 деталей первая бригада затрачивает на 2 ч меньше, чем вторая, которая делает 420 деталей за 1 ч. Сколько деталей за час делает первая бригада?

Многошаговые задачи 39–40 сложны тем, что при их решении учащиеся не всегда умеют определить, что требуется знать для ответа на вопрос задачи и как можно найти требуемое. На примере таких задач можно обучать их поиску решения задачи.

Анализ условия и составление плана решения задачи 39 (1) можно провести в таком диалоге:

— Сформулируйте главный вопрос задачи.

— Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы? (I и II за 3 ч?)

— Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос?

— Сколько страниц печатают 2 машинистки за 1 ч? (I и II за 1 ч?)

— Все ли мы знаем для этого? Что еще нужно узнать?

— Нет, не все. Нужно узнать, сколько страниц печатала вторая машинистка за 1 ч. (II за 1 ч?)

— Что известно о работе второй машинистки?

— Она за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч.

— А мы знаем, сколько страниц печатает первая машинистка за 4 ч? (I за 4 ч?)

— Нет, но можем узнать, умножив 10 на 4.

В скобках мы привели записи, которые учитель может делать на доске по ходу обсуждения. Стрелки, поставленные учителем от последней записи к первой, дают план решения. Для повышения эффективности обучения решению задач, а также для приучения школьников к планированию своей деятельности, советуем обучать их делать краткую запись условия задачи и намечать по ней план решения. Разумеется, этот совет нельзя превращать в обязательное требование. Учащиеся могут делать краткую запись условия задачи в произвольной, удобной для них форме тогда, когда она действительно помогает им в работе.

41. 1) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. По сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

2) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то печенья на полках стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально?

42. а) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли еще 12 человек, а во вторую — 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах было 45 человек. Когда из первой вышли 9 человек, а из второй — 14 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

43. а) В магазине было 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов было в магазине?

б) На заправочной станции было 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько тонн бензина было на станции?

44. а) В булочной было 654 кг черного и белого хлеба. После того, как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

б) В двух магазинах было 452 холодильника. После того, как оба магазина продали холодильников поровну, в одном осталось 72, а в другом — 84 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине первоначально?

45.* На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

46. 1) За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 510 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй 54 детали?

2) В понедельник магазин продал 5 коробок яиц, а во вторник 7. Известно, что от продажи яиц во вторник магазин выручил на 396 р. больше, чем в понедельник. Сколько стоит коробка яиц?

[1] Дюжина – двенадцать.

Сложение и вычитание натуральных чисел

25.04.2017

Задачи 1–7 нацелены на повторение связи отношений «больше на» и  «меньше на» со сложением и вычитанием.

1. а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

б) От Санкт-Петербурга до Петрозаводска 401 км, а от Петрозаводска до Мурманска на 643 км больше. Сколько километров от Санкт-Петербурга до Мурманска через Петрозаводск?

2. а) Общая тетрадь стоит 3 р. 40 к., а блокнот на 80 к. меньше. Сколько стоят общая тетрадь и блокнот вместе?

б) Мальчик прочитал 42 страницы и ему осталось прочитать на 8 страниц меньше, чем он уже прочитал. Сколько страниц в книге?

3. 1) В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. На сколько в коллекции российских марок больше, чем иностранных?

2) За две недели бригада собрала 113 т картофеля. Из них за первую неделю — 54 т. На сколько тонн меньше собрано картофеля в первую неделю, чем во вторую?

3) За сентябрь и октябрь завод выпустил 193 станка, причем за сентябрь — 98 станков. В какой из этих месяцев было выпущено больше станков и на сколько?

4. а) Туристы планировали за три дня пройти 65 км. За первый день они прошли 24 км, за второй — на 3 км меньше. Сколько километров им осталось пройти в третий день?

б) В швейной мастерской было 900 м ткани. За первый месяц израсходовали 225 м, за второй — на 23 м больше. Сколько метров ткани осталось в швейной мастерской к концу второго месяца?

5. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого.

1) У одного мужика 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у них овец вместе?

2) У одного мужика 26 овец, а у другого на 5 овец меньше. Сколько у них вместе овец?

3) У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько у него меньше против другого?

6. Первая бригада собрала за смену 52 прибора, вторая — на 9 приборов меньше, чем первая, а третья — на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

7. а) Учащиеся 5 класса собрали 220 кг яблок, учащиеся 6 класса — на 60 кг больше, а учащиеся 7 класса — на 190 кг меньше, чем учащиеся 5 и 6 классов вместе. Сколько килограммов яблок собрали учащиеся трех классов вместе?

б) За первый день старшеклассники собрали 312 ящиков огурцов, а за второй — на 120 ящиков больше. За третий день они собрали на 218 ящиков меньше, чем за первые два дня вместе. Сколько ящиков огурцов собрали старшеклассники за три дня?

Задачи 8 и 9 предназначены для закрепления понимания взаимосвязи операций сложения и вычитания. Здесь можно продемонстрировать учащимся способ решения задач «с конца». Для задачи 8 (1) можно сделать такой рисунок.

К неизвестному числу прибавили 45 и получили 66 (рис. а), следовательно для нахождения первого числа надо из 66 вычесть 45 (рис. б).

8. 1) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его.

2) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.

3) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200. Найдите задуманное число.

9. 1) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй — вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки?

2) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?

Условия задач 10–12 заданы в так называемой «косвенной» форме. Здесь для нахождения неизвестного числа требуется определить, оно больше или меньше известного. Эти задачи требуют большего внимания к анализу условия задачи, к выяснению взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.

10. В трех классах 44 девочки — это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

11. 1) Сын на 24 года моложе мамы, а папа на 3 года старше мамы. Сколько лет папе, если сыну 10 лет?

2) Мама на 23 года старше сына, а папа на 2 года старше мамы. Сколько лет сыну, если папе 34 года?

12. 1) Алеша прыгнул в длину на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы. Какой результат в прыжках в длину показал Боря? Какой Вова?

2) Доярки надоили за июль 300 000 л молока, это на 4 000 л больше, чем в июне и на 6 000 л меньше, чем в августе. Сколько литров молока они надоили за летние месяцы?

13. Покупатель из 50 р. в уплату за купленный товар отдал 30 р. и получил 2 р. сдачи. Сколько денег у него осталось?

14. Задача С.А. Рачинского. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй — 2, в третий — 3 и т. д. Сколько комаров налетело за сутки?

15. В понедельник утром в баке было 1000 л воды. Каждый день расходовали по 600 л, а ночью доливали половину того количества, что находилось в баке утром. Хватит ли воды в баке на четверг?

В задачах 16–17 учащиеся могут предложить несколько способов решения, что нужно всячески поощрять, так как обсуждение различных способов решения одной и той же задачи, кроме прочего, способствует развитию речи школьников. Для анализа условия и выбора плана решения задачи 16 полезно использовать «круги Эйлера». Завершить работу с такими задачами можно следующим заданием:

— Миша и Коля за лето прочитали 15 книг. Из них Миша прочитал 10 книг, а Коля — 12. Поставьте различные вопросы и ответьте на них.

По ходу решения получаемые ответы удобно отмечать на рисунке. Например:

1) Сколько книг прочитал Миша, но не прочитал Коля?

          15 – 12 = 3 (книг);

2) Сколько книг прочитали оба мальчика? 

          10 – 3 = 7 (книг);

3)   …

16.* 1) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Mарки коллекционируют 8 человек, монеты — 5, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты?

2) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

3) 12 человек участвовали в конкурсе певцов, 3 человека — и в конкурсе певцов, и в конкурсе чтецов. Хотя бы в одном из этих конкурсов участвовали 26 человек. Сколько человек участвовало в конкурсе чтецов?

4) В соревнованиях по прыжкам в длину участвовало 18 человек, а по прыжкам в высоту — 21. Причем и в тех, и других соревнованиях участвовали 16 человек. Сколько человек участвовало в соревнованиях?

5) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино — 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

6) В нашем классе 8 человек коллекционируют марки, 6 человек коллекционируют монеты, причем и марки, и монеты коллекционируют 3 человека, а ничего не коллекционируют 19 человек. Сколько учащихся в нашем классе?

7) В нашем классе 32 человека. Из них 23 — любят кошек, 18 — собак. Причем 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек из нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

8) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей — 6, а 2 человека не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся из нашего класса ходило в кино?

17. а) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

б) На XXII Олимпийских Играх в Москве (1980 г.) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько зoлотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?

Один из способов решения задачи 17 (а) может быть таким. Обозначим количество лет Веры, Нади и Любы соответственно В, Н и Л. Тогда по условию задачи верны 3 равенства:

                        В + Н + Л = 38,

                        В + Н = 28,

                        Н + Л = 23.

Вычитая из первого равенства второе, а потом третье, получим, что Л = 10, В = 15. Теперь легко вычислить возраст Нади:

                            Н = 38 – 10 – 15 = 13.

Итак, Вере 15 лет, Наде 13 лет, Любе 10 лет.

§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

25.04.2017

Текстовые задачи являются традиционным средством обучения математике. Они дают большой простор в тренировке мышления учащихся и в выполнении ими арифметических действий, связанных с различными практическими или специально придуманными ситуациями.

Первоначально обучение математике велось через обучение решению практических задач. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. По мнению старинных авторов, понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. [4, с. 163]

Иначе и быть не могло, т. к. первые российские учебники во многом подражали европейским, в которых обучение слабо опиралось на понимание. Подтверждением тому служит фрагмент из книгиИ. Бёшенштейна (1514 г.), в котором дается определение тройного правила, формулируется само правило, приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

…Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение: Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

                             фунты       гульдены    фунты

                               100                 7                29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов. [8, с. 11]1

Аналогично обучали и по одному из первых и самому известному в России учебнику «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Следы обучения по правилам находим и в «Арифметике» А.П. Киселева. Однако у него правила давались как обобщения подробно разобранных и обоснованных способов решения.

К середине XX века сложилась развитая типология задач, вклю­чавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они учили школьников выделять задачи данного типа из массы других и разучивали способы их решения.

Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» [2, с. 14].

Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту ныне действующих учебников К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения.

Вместо того чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того, чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.

Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим, а в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задачи самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4–5 классов на 1971/72 учебный год. Хотели как лучше, а получилось … как всегда.

На практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4 (теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» [7].

А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Свидетельство тому находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» [11].

Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы решения задач.

Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п. …» [11]. Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.

Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с ростом всеобуча и превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучше как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись. В этом беда современной школы. Справедливости ради надо отметить, что утверждению применения уравнения как главного способа решения текстовых задач «помогли» и ученые-математики.

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии», и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы «на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса». [16]

Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.

Многие годы совершенствование обучения математике в школе прoводилось под лозунгом приближения обучения к жизни. При этом больше внимания уделялось тем способам деятельности школьников, которые в большей степени применимы на практике и в дальнейшем обучении. Осуществление этой идеи применительно к курсу математики (арифметики) 5–6 классов привело к постепенному отказу сначала от обучения школьников решению некоторых типов задач, а потом и к полному отказу от традиционной методики обучения ввиду ее несовершенства и малой применимости на практике некоторых из приемов решения задач. Наибольшее распространение получил способ решения задач с помощью уравнения. Этим способом решают теперь многие из задач, которые в прошлом решали различными способами. Традиционные арифметические задачи, например, на совместную работу, вовсе исключены из рассмотрения в 5–6 классах на долгие годы.

Практика показала, что раннее введение этого перспективного (в смысле использования в дальнейшем обучении) способа решения задач без достаточной подготовки мышления учащихся малоэффективно. И это не удивительно! Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть» и т. п.

Думается, ребенок должен пройти тот же путь — сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом подойти к применению уравнения. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся 5–6 классов, тяготеющего к оперированию наглядными образами, а не абстрактными моделями.

На данном этапе обучения арифметические способы решения задач имеет преимущество перед алгебраическим уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Не случайно школьники быстрее и лучше усваивают различные (в том числе и сложные) приемы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения. Кроме того, включение уравнений на самом раннем этапе обучения приводит к такой вот противоестественной формулировке заданий.

Решите с помощью уравнения задачу: В корзине было несколько грибов. После того, как в нееположили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?  [15, с. 70]

Маша сказала: «Я своим трем подругам раздала 18 конфет, всем поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой.» Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x? [24, с. 13]

Совершенно очевидно, что использование задач такого типа не способствует развитию представленийучащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, оно искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: при решении текстовых задач практического характера учащиеся учатся применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не преодолены и теперь. Разница только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.

Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи
«на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «Пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше.
Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?

Сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, академик В.И. Арнольд писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы [конца 60-х годов. А. Ш.] преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим». [1]

Как известно, мышление пятиклассников (тем более учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т. п. не следует.

Рассчитывать на изобретение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях — все равно что искать универсальное лекарство от всех болезней. Мы не тешим себя такими надеждами, однако, считаем, что возрождение элементов традиционной методики было бы полезным для обучения и развития всех школьников. При этом, правда, хотелось бы избежать характерных ошибок ее применения. Обучение школьников решению задач можно усовершенствовать, если рассматривать его не только как практически важную цель (научить ребенка определенным действиям в определенных ситуациях), но и как средство развития его мышления.

Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному; опираясь на наглядность, переходить от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в условии задачи величинами; обогатит его опыт мыслительной деятельности разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.

Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении (этого, быть может, было бы достаточно во времена Л.Ф. Магницкого), а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть попросту забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых встающих перед ними задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Они не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера, о которых писал известный методист С.И. Шохор-Троцкий в начале XX века: «Арифметические задачи вообще должны, при разумном обучении, быть не целью, а только средством обучения арифметике. С их помощью должны быть вырабатываемы и развиваемы верные и ясные представления и понятия: о четырех действиях, об их смысле и цели, о наилучших способах их производства и т. п.» [27, с. 6]

Для того, чтобы развитие мышления и речи, сообразительности и памяти учащихся было не побочным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а явилось закономерным, планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения. Во-первых, учитель должен ставить перед собою конкретную цель (чему учить детей на ближайших уроках) и не стремиться к одновременному достижению еще и других, пусть и очень важных, целей. Во-вторых, необходимо отобрать задачи, отвечающие поставленной цели и образующие «цепочку», по которой учащиеся могут продвигаться от простого к сложному. При этом учащиеся с разной начальной подготовкой должны получить возможность продвигаться по ней с разной скоростью. Заметим, что в современных учебниках система упражнений разрезана по учебным пунктам. Это затрудняет учителю обзор задач. Кроме того, в ней есть намеренные перебивки задачами «не из той оперы» — их назначение разрушать формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности школьников. Вот этого разнообразия в момент освоения нового приема решения как раз и нужно избегать. Когда же прием решения задач освоен, испытывать его на прочность можно любым способом.

Следует сказать еще об одном важном моменте — выборе фабулы задач. Дело в том, что никакой автор учебника не в силах предусмотреть всех трудностей, которые могут возникнуть в работе с каждым конкретным классом или учащимся. Зачастую возникают ситуации, когда учителю необходимо дополнить имеющуюся «цепочку» задач еще одной задачей. Так вот в момент первоначального усвоения приема решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще — она не должна содержать отвлекающей информации, мешающей ученику сосредоточиться на взаимосвязи известных и неизвестных величин. Здесь нам хотелось бы предостеречь учителя, отбирающего или составляющего задачи для работы, от переоценки возможностей воспитательного воздействия на учащихся через фабулу задачи. В качестве примеров, которым не стоит следовать и на более поздних этапах обучения, приведем три задачи из нашей коллекции.

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов, весом в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы — ¹/₃  всего кита? [24, с. 78]

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови? [23, с. 146]

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 м³ чистых. Вычислить,сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду? Проследить, в течение какого времени это произойдет. [25, с. 78]

Приведенные образцы, конечно же, представляют особый, вырожденный случай, но они отражают направление, в котором пытались много лет совершенствовать методику обучения решению задач. Это так называемое приближение школы к жизни. Фабулы приведенных задач вряд ли отвечают хоть каким-то разумным целям обучения и воспитания.

Мы вовсе не хотим сказать, что при обучении решению задач не следует стремиться к достижению каких-либо воспитательных целей, не связанных с конкретными математическими или общеучебными умениями. Можно, и даже нужно! Но эта работа требует определенного вкуса и такта в обращении с фактами, отбираемыми для составления задач.

Традиция просвещать и воспитывать учащихся (и даже взрослых) через фабулу задачи родилась не вчера. Подтверждение тому находим в «Двенадцати стульях» И. Ильфа и Е. Петрова: старый ребусник Синицкий, сочинявший шарады и ребусы для газет и журналов, плакал от зависти, читая задачу, составленную кем-то из его более молодых и политически грамотных конкурентов. Вот эта задача.

На трех станциях: Воробьево, Грачево и Дроздово было по рав­ному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев в шесть раз меньше, чем на двух других вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова была там партийная прослойка?

Эта задача интересна не только как литературная иллюстрация идеи воспитания через фабулу задачи. Она не имеет единственного решения. Если попросить учащихся найти наименьшее возможное число служащих, считая число комсомольцев, партийцев и беспартийных на каждой станции большим нуля, то можно с уверенностью утверждать, что необычность формулировки задания и запутанность взаимосвязей между величинами отвлекут учащихся от политизированной фабулы задачи. Они будут искать ответ, действуя с комсомольцами, партийцам и беспартийными так же, как они действовали бы с тетрадями, пеналами и ручками. Воспитательный же эффект задачи будет нулевым.

Что же касается «попутного воспитания», то вряд ли стоит переоценивать влияние на подрастающее поколение задач оборонной тематики, включенных в предвоенные школьные сборники задач, или задач о Продовольственной программе в учебниках 80-х годов. Из всех воспитательных целей, которые следовало бы ставить при обучении решению задач, особо выделим лишь одну — формирование у учащихся представлений о богатстве культурно-историчес­кого наследия человечества, связанного с их решением. Расширению кругозора школьников и созданию «исторического фона» обучения послужат включенные в сборник старинные задачи, а также задачи, связанные с именами выдающихся личностей, с деталями быта и вычислительной практики прошлого. Включение старинных задач имеет целью познакомить учащихся с разнообразными приемами рассуждений, которые применялись раньше при их решении. Все это позволит расширить арсенал средств, используемых учащимися при решении задач.

Далее мы приводим подборку задач, предназначенную для работы в первом полугодии 5 класса. Задачи разбиты на 7 разделов, ко многим из них даны методические комментарии. В начале учебного года нужно обеспечить качественное повторение материала, изученного в начальной школе. При этом необходимо убедиться, что все учащиеся правильно связывают с соответствующими арифметическими операциями отношения «больше на …», «меньше на …», «больше в …», «меньше в …», слова «всего», «вместе», «осталось» «поровну» и т. п.

Решению задач с помощью уравнения, на наш взгляд, должна предшествовать работа с задачами «на части». Мы бы советовали простые задачи, которые в учебниках предлагается решать с помощью уравнения, решать без него по действиям, или как задачи «на части», или как задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Более сложные задачи лучше оставить на второе полугодие 6 класса, когда будут изучены отрицательные числа и техника решения самих уравнений будет лучше освоена учащимися. При решении задач из раздела 1.3 следует подвести учащихся к правильному применению рассуждений о частях в ситуации, когда известно отношение двух неизвестных величин и их сумма (разность). Следует уделить внимание устному обоснованию решения и записи пояснений к каждому действию. В результате работы с задачами данного раздела учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получать ответ на вопрос задачи. Обобщать этот способ в виде какого-либо правила не требуется.

Раздел 1.4 сборника начинается с подготовительных задач, решение которых должно подвести учащихся к пониманию способа нахождения двух величин по их сумме и разности. Лишь тогда, когда учащиеся освоят способ решения задач указанного типа, можно отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и разность двух чисел; чтобы их найти, нужно из суммы вычесть разность — получится удвоенное меньшее число. После изучения отрицательных чисел можно будет вернуться к обоснованию сформулированного выше правила:

(a + b) – (а – b) = a + b – a + b = 2b.

Не будем останавливаться подробнее на характеристике задач из других разделов, так как здесь, в отличие от разделов 1.1–1.4, где мы предлагаем отказаться от применения уравнений, нет столь принципиальных изменений. Во всех местах, требующих разъяснения цели включения в сборник отдельных задач или методики работы с ними, мы приводим небольшой комментарий. Наиболее трудные задачи решены полностью. Разумеется, не все предложенные задачи, хоть и относящиеся формально к разделу «Натуральные числа», должны быть решены в первом полугодии 5 класса. Среди них есть и задачи «на вырост», которые можно отложить до 6 класса. В книге есть и задачи, которые не всегда могут решить сами учащиеся. Они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

1 Пример и комментарий к нему упрощены в соответствии с замечаниями Г. Вилейтнера об обозначениях и соотношениях величин.

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5 – 6 КЛАССАХ — ПРЕДИСЛОВИЕ

25.04.2017

Книга для учителя 

Эта книга содержит 6 параграфов, каждый из которых начинается вступительной статьей, содержащей рекомендации общего характера по методике обучения школьников решению задач, и завершается системой задач для учащихся. К большинству задач приведены решения и рекомендации по их использованию в учебном процессе. Книгу можно использовать при работе по любым учебникам, задачи из нее изданы отдельным сборником.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроке математики вызывает задание: решите задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или на экзамене даже не приступает к решению так называемых текстовых задач. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? — вот вопросы, которых мы коснемся в нашей книге.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место и это почти исключительно российский феномен. В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению задач. Почему так происходило?

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). Так было и в России. Обучение велось по образцам, ученики подражали учителю, не всегда понимая сути выполняемых ими вычислений.

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывавшую определенное воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.

Работа над развитием речи учащихся в процессе обучения решению задач оказалась полезной, учитывая богатство и сложность нашего великого и могучего языка. Она развивала язык общения и обучения, готовила учащихся к изучению математики и смежных дисциплин. В этом, по-видимому, кроется одна из причин большого внимания к решению задач в традиционной отечественной методике.

В нашей книге обучение решению текстовых задач рассматривается в исторической перспективе, используется опыт мастеров отечественной методики прошлого, изучаются аргументы сторонников изменения отношения к текстовым задачам во время реформы математического образования в конце 60-х годов, предлагаются варианты использования прежнего опыта в современных условиях.

Книга содержит 6 параграфов: «Натуральные числа», «Дроби», «Пропорции», «Проценты», «Уравнения» и «Задачи на повторение», охватывающие все вопросы, связанные с решением текстовых задач в 5-6 классах. Первые параграфы посвящены методике обучения решению задач указанной тематики, последний — общим рекомендациям по обучению школьников поиску решения задач.

Суть наших предложений подробно излагается в начале каждого параграфа — выделим некоторые из них.

Мы предлагаем отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения.

Мы предлагаем значительно шире, чем это делалось до сих пор, использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить представления школьников о способах их решения в далекие и не очень далекие времена, будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

Наконец, мы предлагаем отказаться от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы, так как не считаем полезным для обучения каждый раз ставить в тупик наименее подготовленных из них. Вместо этого в каждом разделе мы предлагаем цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

В учебниках «Арифметика 5» и «Арифметика 6» предложенные нами идеи реализованы достаточно полно. Данную книгу можно рассматривать как методическое пособие по работе с задачами из этих учебников. Книга поможет молодым учителям освоить методику работы с задачами по указанным учебникам.

Работая по другим учебникам, учитель может использовать предлагаемые материалы выборочно. При этом желательно как можно точнее следовать порядку развития задачного материала в книге, внося необходимые коррективы в использование задач из учебника.

Первый вариант этой книги со сборником задач из нее был издан фирмой «Галс» в 1995 г., а в 1987 г. издательство «Просвещение» выпустило сборник «Текстовые задачи» для учащихся старших классов. В нем были развиты на новом содержании идеи данной книги. Большая часть задач из этого сборника вошла в учебники алгебры для 7-9 классов и алгебры и начал анализа для 10-11 классов серии «МГУ — школе», которые выпускает издательство «Просвещение». В 2001-2003 гг. все три книги выпускались издательством «Русское слово».

Данная книга для учителя со сборником задач для учащихся составляют учебно-методический комплект, который могут использовать и родители, желающие сделать обучение своих детей полезным и познавательным.

Во всех разделах данной книги задачи одинакового уровня сложности в одном номере стоят под буквами: а), б), в) … — из них учащимся достаточно решить одну, а дубли учитель может использовать для работы с отстающими учениками и организации повторения. Задачи, расположенные по нарастанию трудности или не являющиеся дублями, помечены цифрами: 1), 2), 3) … — их желательно решать без пропусков. Задачи, отмеченные знаком (*), не являются обязательными для всех учащихся, но желательно, чтобы в работе с ними соблюдался олимпийский принцип «главное не победа, а участие». Наконец, задачи, отмеченные знаком (^о), предназначены для устного решения.

Обучение решению текстовых задач в 5–6 классах

10.04.2017

Шевкин А.В. Обучение решению задач в 5–6 классах: Книга для учителя. – 3-е изд. исправл. – М.: ООО «ТИД «Русское слово – РС». – 2002. – 208 с.

Издательство ИЛЕКСА имеет договор на издание этой книги, но не торопится выпускать ее в свет. С разрешения издательства публикуем книгу в Интернете. Если вам нужна эта книга «на бумаге», то сообщите об этом в издательство ИЛЕКСА: www.ilexa.ru

Ниже приведены ссылки на страницы книги.
Публикация книги в Интернете поддержана РГНФ (проект № 08-06-00144а).

Предисловие
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Сложение и вычитание натуральных чисел
1.2. Умножение и деление натуральных чисел
1.3. Задачи «на части» 
1.4. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности
1.5. Задачи на движение по реке
1.6. Задачи на движение
1.7. Разные задачи
§ 2. ДРОБИ
2.1. Вводные задачи
2.2. Нахождение части числа и числа по его части
2.3. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
2.4. Умножение и деление обыкновенных дробей
2.5. Задачи «на бассейны» и другие
2.6. Разные задачи
§ 3. ПРОПОРЦИИ
3.1. Задачи на прямую и обратную пропорциональность
3.2. Сложные задачи на прямую и обратную пропорциональность
§ 4. ПРОЦЕНТЫ 
4.1. Нахождение процентов числа
4.2. Нахождение числа по его процентам
4.3. Нахождение процентного отношения
4.4. Сложные задачи на проценты
§ 5. УРАВНЕНИЯ
5.1. Вводные задачи
5.2. Решение задач с помощью уравнений 
5.3. Более сложные задачи, решаемые уравнением