Книги

§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Текстовые задачи являются традиционным средством обучения математике. Они дают большой простор в тренировке мышления учащихся и в выполнении ими арифметических действий, связанных с различными практическими или специально придуманными ситуациями.

Первоначально обучение математике велось через обучение решению практических задач. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. По мнению старинных авторов, понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. [4, с. 163]

Иначе и быть не могло, т. к. первые российские учебники во многом подражали европейским, в которых обучение слабо опиралось на понимание. Подтверждением тому служит фрагмент из книгиИ. Бёшенштейна (1514 г.), в котором дается определение тройного правила, формулируется само правило, приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

…Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение: Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

                             фунты       гульдены    фунты

                               100                 7                29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов. [8, с. 11]1

Аналогично обучали и по одному из первых и самому известному в России учебнику «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Следы обучения по правилам находим и в «Арифметике» А.П. Киселева. Однако у него правила давались как обобщения подробно разобранных и обоснованных способов решения.

К середине XX века сложилась развитая типология задач, вклю­чавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они учили школьников выделять задачи данного типа из массы других и разучивали способы их решения.

Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» [2, с. 14].

Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту ныне действующих учебников К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения.

Вместо того чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того, чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.

Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим, а в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задачи самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4–5 классов на 1971/72 учебный год. Хотели как лучше, а получилось … как всегда.

На практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4 (теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом…» [7].

А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Свидетельство тому находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» [11].

Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы решения задач.

Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п. …» [11]. Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.

Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с ростом всеобуча и превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучше как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись. В этом беда современной школы. Справедливости ради надо отметить, что утверждению применения уравнения как главного способа решения текстовых задач «помогли» и ученые-математики.

«Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро: «Академики С.Л. Соболев, А.Л. Минц и другие заявляют, что обучение математике в школах проводится вопреки «правилам оптимальной стратегии», и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им приходится затрачивать силы «на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно арифметические задачи. По мнению С.Л. Соболева, как правило, после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса». [16]

Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые факты, неторопливо рассказывать про пестики и тычинки, рыбок, бабочек и пр.? Или, согласно «правилам оптимальной стратегии», надо «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления жизненного опыта ребенка, развития его мышления и способности к правильному восприятию сообщаемого.

Многие годы совершенствование обучения математике в школе прoводилось под лозунгом приближения обучения к жизни. При этом больше внимания уделялось тем способам деятельности школьников, которые в большей степени применимы на практике и в дальнейшем обучении. Осуществление этой идеи применительно к курсу математики (арифметики) 5–6 классов привело к постепенному отказу сначала от обучения школьников решению некоторых типов задач, а потом и к полному отказу от традиционной методики обучения ввиду ее несовершенства и малой применимости на практике некоторых из приемов решения задач. Наибольшее распространение получил способ решения задач с помощью уравнения. Этим способом решают теперь многие из задач, которые в прошлом решали различными способами. Традиционные арифметические задачи, например, на совместную работу, вовсе исключены из рассмотрения в 5–6 классах на долгие годы.

Практика показала, что раннее введение этого перспективного (в смысле использования в дальнейшем обучении) способа решения задач без достаточной подготовки мышления учащихся малоэффективно. И это не удивительно! Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть» и т. п.

Думается, ребенок должен пройти тот же путь — сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом подойти к применению уравнения. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся 5–6 классов, тяготеющего к оперированию наглядными образами, а не абстрактными моделями.

На данном этапе обучения арифметические способы решения задач имеет преимущество перед алгебраическим уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Не случайно школьники быстрее и лучше усваивают различные (в том числе и сложные) приемы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения. Кроме того, включение уравнений на самом раннем этапе обучения приводит к такой вот противоестественной формулировке заданий.

Решите с помощью уравнения задачу: В корзине было несколько грибов. После того, как в нееположили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?  [15, с. 70]

Маша сказала: «Я своим трем подругам раздала 18 конфет, всем поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой.» Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x? [24, с. 13]

Совершенно очевидно, что использование задач такого типа не способствует развитию представленийучащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, оно искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: при решении текстовых задач практического характера учащиеся учатся применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не преодолены и теперь. Разница только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.

Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи
«на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «Пусть х …». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше.
Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?

Сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, академик В.И. Арнольд писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы [конца 60-х годов. А. Ш.] преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим». [1]

Как известно, мышление пятиклассников (тем более учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т. п. не следует.

Рассчитывать на изобретение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях — все равно что искать универсальное лекарство от всех болезней. Мы не тешим себя такими надеждами, однако, считаем, что возрождение элементов традиционной методики было бы полезным для обучения и развития всех школьников. При этом, правда, хотелось бы избежать характерных ошибок ее применения. Обучение школьников решению задач можно усовершенствовать, если рассматривать его не только как практически важную цель (научить ребенка определенным действиям в определенных ситуациях), но и как средство развития его мышления.

Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному; опираясь на наглядность, переходить от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в условии задачи величинами; обогатит его опыт мыслительной деятельности разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.

Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении (этого, быть может, было бы достаточно во времена Л.Ф. Магницкого), а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть попросту забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых встающих перед ними задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Они не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера, о которых писал известный методист С.И. Шохор-Троцкий в начале XX века: «Арифметические задачи вообще должны, при разумном обучении, быть не целью, а только средством обучения арифметике. С их помощью должны быть вырабатываемы и развиваемы верные и ясные представления и понятия: о четырех действиях, об их смысле и цели, о наилучших способах их производства и т. п.» [27, с. 6]

Для того, чтобы развитие мышления и речи, сообразительности и памяти учащихся было не побочным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а явилось закономерным, планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения. Во-первых, учитель должен ставить перед собою конкретную цель (чему учить детей на ближайших уроках) и не стремиться к одновременному достижению еще и других, пусть и очень важных, целей. Во-вторых, необходимо отобрать задачи, отвечающие поставленной цели и образующие «цепочку», по которой учащиеся могут продвигаться от простого к сложному. При этом учащиеся с разной начальной подготовкой должны получить возможность продвигаться по ней с разной скоростью. Заметим, что в современных учебниках система упражнений разрезана по учебным пунктам. Это затрудняет учителю обзор задач. Кроме того, в ней есть намеренные перебивки задачами «не из той оперы» — их назначение разрушать формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности школьников. Вот этого разнообразия в момент освоения нового приема решения как раз и нужно избегать. Когда же прием решения задач освоен, испытывать его на прочность можно любым способом.

Следует сказать еще об одном важном моменте — выборе фабулы задач. Дело в том, что никакой автор учебника не в силах предусмотреть всех трудностей, которые могут возникнуть в работе с каждым конкретным классом или учащимся. Зачастую возникают ситуации, когда учителю необходимо дополнить имеющуюся «цепочку» задач еще одной задачей. Так вот в момент первоначального усвоения приема решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще — она не должна содержать отвлекающей информации, мешающей ученику сосредоточиться на взаимосвязи известных и неизвестных величин. Здесь нам хотелось бы предостеречь учителя, отбирающего или составляющего задачи для работы, от переоценки возможностей воспитательного воздействия на учащихся через фабулу задачи. В качестве примеров, которым не стоит следовать и на более поздних этапах обучения, приведем три задачи из нашей коллекции.

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов, весом в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы — 1/3  всего кита? [24, с. 78]

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови? [23, с. 146]

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 м3 чистых. Вычислить,сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду? Проследить, в течение какого времени это произойдет. [25, с. 78]

Приведенные образцы, конечно же, представляют особый, вырожденный случай, но они отражают направление, в котором пытались много лет совершенствовать методику обучения решению задач. Это так называемое приближение школы к жизни. Фабулы приведенных задач вряд ли отвечают хоть каким-то разумным целям обучения и воспитания.

Мы вовсе не хотим сказать, что при обучении решению задач не следует стремиться к достижению каких-либо воспитательных целей, не связанных с конкретными математическими или общеучебными умениями. Можно, и даже нужно! Но эта работа требует определенного вкуса и такта в обращении с фактами, отбираемыми для составления задач.

Традиция просвещать и воспитывать учащихся (и даже взрослых) через фабулу задачи родилась не вчера. Подтверждение тому находим в «Двенадцати стульях» И. Ильфа и Е. Петрова: старый ребусник Синицкий, сочинявший шарады и ребусы для газет и журналов, плакал от зависти, читая задачу, составленную кем-то из его более молодых и политически грамотных конкурентов. Вот эта задача.

На трех станциях: Воробьево, Грачево и Дроздово было по рав­ному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев в шесть раз меньше, чем на двух других вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова была там партийная прослойка?

Эта задача интересна не только как литературная иллюстрация идеи воспитания через фабулу задачи. Она не имеет единственного решения. Если попросить учащихся найти наименьшее возможное число служащих, считая число комсомольцев, партийцев и беспартийных на каждой станции большим нуля, то можно с уверенностью утверждать, что необычность формулировки задания и запутанность взаимосвязей между величинами отвлекут учащихся от политизированной фабулы задачи. Они будут искать ответ, действуя с комсомольцами, партийцам и беспартийными так же, как они действовали бы с тетрадями, пеналами и ручками. Воспитательный же эффект задачи будет нулевым.

Что же касается «попутного воспитания», то вряд ли стоит переоценивать влияние на подрастающее поколение задач оборонной тематики, включенных в предвоенные школьные сборники задач, или задач о Продовольственной программе в учебниках 80-х годов. Из всех воспитательных целей, которые следовало бы ставить при обучении решению задач, особо выделим лишь одну — формирование у учащихся представлений о богатстве культурно-историчес­кого наследия человечества, связанного с их решением. Расширению кругозора школьников и созданию «исторического фона» обучения послужат включенные в сборник старинные задачи, а также задачи, связанные с именами выдающихся личностей, с деталями быта и вычислительной практики прошлого. Включение старинных задач имеет целью познакомить учащихся с разнообразными приемами рассуждений, которые применялись раньше при их решении. Все это позволит расширить арсенал средств, используемых учащимися при решении задач.

Далее мы приводим подборку задач, предназначенную для работы в первом полугодии 5 класса. Задачи разбиты на 7 разделов, ко многим из них даны методические комментарии. В начале учебного года нужно обеспечить качественное повторение материала, изученного в начальной школе. При этом необходимо убедиться, что все учащиеся правильно связывают с соответствующими арифметическими операциями отношения «больше на …», «меньше на …», «больше в …», «меньше в …», слова «всего», «вместе», «осталось» «поровну» и т. п.

Решению задач с помощью уравнения, на наш взгляд, должна предшествовать работа с задачами «на части». Мы бы советовали простые задачи, которые в учебниках предлагается решать с помощью уравнения, решать без него по действиям, или как задачи «на части», или как задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Более сложные задачи лучше оставить на второе полугодие 6 класса, когда будут изучены отрицательные числа и техника решения самих уравнений будет лучше освоена учащимися. При решении задач из раздела 1.3 следует подвести учащихся к правильному применению рассуждений о частях в ситуации, когда известно отношение двух неизвестных величин и их сумма (разность). Следует уделить внимание устному обоснованию решения и записи пояснений к каждому действию. В результате работы с задачами данного раздела учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получать ответ на вопрос задачи. Обобщать этот способ в виде какого-либо правила не требуется.

Раздел 1.4 сборника начинается с подготовительных задач, решение которых должно подвести учащихся к пониманию способа нахождения двух величин по их сумме и разности. Лишь тогда, когда учащиеся освоят способ решения задач указанного типа, можно отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и разность двух чисел; чтобы их найти, нужно из суммы вычесть разность — получится удвоенное меньшее число. После изучения отрицательных чисел можно будет вернуться к обоснованию сформулированного выше правила:

(a + b) – (аb) = a + ba + b = 2b.

Не будем останавливаться подробнее на характеристике задач из других разделов, так как здесь, в отличие от разделов 1.1–1.4, где мы предлагаем отказаться от применения уравнений, нет столь принципиальных изменений. Во всех местах, требующих разъяснения цели включения в сборник отдельных задач или методики работы с ними, мы приводим небольшой комментарий. Наиболее трудные задачи решены полностью. Разумеется, не все предложенные задачи, хоть и относящиеся формально к разделу «Натуральные числа», должны быть решены в первом полугодии 5 класса. Среди них есть и задачи «на вырост», которые можно отложить до 6 класса. В книге есть и задачи, которые не всегда могут решить сами учащиеся. Они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

1 Пример и комментарий к нему упрощены в соответствии с замечаниями Г. Вилейтнера об обозначениях и соотношениях величин.

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2019 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал