Интересные решения будут вставлены в текст этой статьи на сайте с указанием фамилии приславшего решение. При этом верные первоначальные решения мы сохраним, так как они тоже содержат поучительные идеи.  

Комментарии. Поясним, откуда берутся формулы для подсчета числа делителей в случаях а), б) и в).

а) Если некоторое число имеет один простой делитель m кратности k, то оно делится на каждое из чисел 1, m¹, m², … , m ^k, т. е. это число имеет k + 1 делителей.

б) Если некоторое число имеет t простых делителей первой кратности m₁, m₂, ..., m_t, то оно делится на

                           1, m₁, m₂, ..., m_t,

                           m₁m₂, m₁m₃, ..., m₁m_t,

                           m₁m₂m₃, ..., m₁m₂, …,

                           m₁m₂m₃…m_t.

в) Если простые делители m и n некоторого числа имеют кратности a и b, то это число делится на каждое из чисел, записанных в следующих двух строках

1, m¹, m², … , m ^a,

1, n¹, n ², … , n ^b,

а также на все возможные произведения чисел, взятых по одному из каждой строки. Так как в первой строке a + 1 число, а во второй — b + 1 число, то всего делителей p = (a + 1)(b + 1).

Комментарии. Поясним, откуда берутся формулы для подсчета числа делителей в случаях а), б) и в).

а) Если некоторое число имеет один простой делитель m кратности k, то оно делится на каждое из чисел 1, m¹, m², … , m ^k, т. е. это число имеет k + 1 делителей.

б) Если некоторое число имеет t простых делителей первой кратности m₁, m₂, ..., m_t, то оно делится на

                           1, m₁, m₂, ..., m_t,

                           m₁m₂, m₁m₃, ..., m₁m_t,

                           m₁m₂m₃, ..., m₁m₂, …,

                           m₁m₂m₃…m_t.

в) Если простые делители m и n некоторого числа имеют кратности a и b, то это число делится на каждое из чисел, записанных в следующих двух строках

1, m¹, m², … , m ^a,

1, n¹, n ², … , n ^b,

а также на все возможные произведения чисел, взятых по одному из каждой строки. Так как в первой строке a + 1 число, а во второй — b + 1 число, то всего делителей p = (a + 1)(b + 1).

Поэтому каждый прыжок на 4 единицы происходит всегда через точку вида 4n. Так как точки 1 и 2 находятся на одном интервале между соседними точками вида 4n, то, начав движение из точки 1 и завершив его в точке 2 из одного интервала, мы выполним одинаковое число прыжков на 4 единицы вправо и влево, следовательно, общее число прыжков на 4 единицы чётное. Тогда на прыжки на 1 единицу остается четное число прыжков, так как общее число прыжков 2010 чётное.

Выполняя один прыжок на 1 единицу от числа k вправо (влево), мы увеличиваем (уменьшаем) число k на 1. Выполняя один прыжок на 4 единицы от числа k вправо (влево), мы увеличиваем (уменьшаем) число k на 4. Если всего выполнено а прыжков на 4 единицы вправо, а прыжков на 4 единицы влево,
b прыжков на 1 единицу вправо и c прыжков на 1 единицу влево, то выполняется равенство 1 + 4а – 4а +
+ b – c = 2 (последовательность выполнения прыжков, очевидно, не влияет на результат), т. е. верно равенство b = c + 1. Но тогда общее количество прыжков на 1 единицу равно b + c = 2c + 1 — число нечётное, а выше установлено, что это число чётное. Следовательно, выполнить требуемое невозможно.

Ответ. Нет.

Вариант 19

С6. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

Решение. (Романовский В.И.) Здесь невозможно ограничиться одним простым делителем кратности k = 15 — 1 (см. вар. 10), поскольку по условию должны быть, по меньшей мере, два простых делителя — 2 и 5. Если ограничиться выбором только этих двух делителей, их кратности в искомых числах дает формула p = (m + 1)(n + 1), где p — количество делителей числа, равное 15, m и n — кратности простых делителей. (m + 1)(n + 1) = 15; m = 2, n = 4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям). Существуют два числа, удовлетворяющие условию: N₁ = 2²×5⁴ = 2500;
N₂ = 2⁴×5² = 400.

Ответ. 2500 и 400.

Вариант 20

С6. При каком наибольшем п найдется п семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии?

Решение. (Романовский В.И.) Очевидно, решая задачу, следует выполнять требование: первое член прогрессии и её знаменатель должны быть по возможности, минимальны. При этом все члены прогрессии — целые числа. Логичный, на первый взгляд, выбор числа 10⁶ в качестве первого члена и знаменателя прогрессии 1,1 не приводит к успеху. Цепочка чисел заканчивается на 6-м ходу. Верный подход состоит в том, чтобы в качестве первого члена выбрать максимально возможную степень (естественно, основание степени должно быть минимально), а в качестве знаменателя прогрессии — неправильную дробь, знаменатель которой равен основанию степени первого члена, либо ближайшей степенью его, а числитель – знаменателю плюс 1. Выбираем в качестве первого члена прогрессии число 1048576 = 2²⁰, а в качестве знаменателя прогрессии число 5/4. Получаем такую цепочку: 1048576, 1310720, 1638400, 2048000, 2560000, 3200000, 4000000, 5000000,  6250000, 7812500, 9765625 — всего 11 членов.

Ответ. 11.